2. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determine (se existirem) os pontos onde ela se anula.

  1. f t = l n l n   t 2   t

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver que é função logarítmica.

E no caso da função logarítmica, podemos usar essa relação direta aqui:

y = x  

y ' = 1 l n l n   b   1 x

Então quando b = e , temos que

y = l n l n   x  

y ' = 1 l n l n   e   1 x = 1 x

Mas para resolver essa derivada, vamos ter que usar também a regra do produto e da cadeia.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

f t = l n l n   t 2   t

Podemos reescrever a nossa função assim,

f t = t - 1 l n l n   t 2  

Aplicando a regra do produto para derivar, ficamos com

f ' t = t - 1 ' l n l n   t 2   + t - 1 l n l n   t 2   '

Para calcular a derivada de t - 1 , vamos usar a regra do polinômio,

t - 1 ' = - 1 t - 2 = - 1 t 2

Agora vamos derivar a parte logarítmica!

Passo 3

Para calcular ( l n l n   t 2   ) ' vamos usar a regra da cadeia ficamos com,

l n l n   t 2   ' = t 2 ' t 2  

Aplicando as derivas que vimos no Passo 1,

l n l n   t 2   ' = 2 t   1 t 2 = 2 t

Passo 4

Voltando para a derivada da nossa função, ficamos com

f ' t = t - 1 ' l n l n   t 2   + t - 1 l n l n   t 2   '

f ' t = - 1 t 2 l n l n   t 2   + t - 1 2 t

f ' t = - 1 t 2 l n l n   t 2   + 2 t 2

f ' t = 1 t 2 2 - l n l n   t 2  

Agora precisamos ver onde a derivada irá zerar!

Passo 5

Fazendo,

f ' t = 1 t 2 2 - l n l n   t 2   = 0

Para essa função temos que

2 - l n l n   t 2   = 0

Ajeitando,

l n l n   t 2   = 2

Agora vamos aplicar essa propriedade logarítmica,

l n l n   a b   = b l n l n   a  

Logo,

2 l n l n   t   = 2

l n l n   t   = 1

Com isso, temos que

t = ± e

Prontinho!

Resposta

  • f ' t = 1 t 2 2 - l n l n   t 2  
  • t = ± e

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