Determine as derivadas das funções abaixo:

b )   g x = e 2 x - ln ⁡ x - 3 x 4 + 1

Passo 1

Eaíi gente, tudo na paz com vocês?

Nessa questão precisamos derivar a função:

g x = e 2 x - ln ⁡ x - 3 x 4 + 1

Como podemos ver, trata-se de uma divisão de duas funções. Assim, vamos usar a regra do quociente, que diz que:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Depois disso, vamos precisar calcular individualmente f ' e g ' .

Show de bola? Vamo nessa!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, temos que:

g x = e 2 x - ln ⁡ x - 3 x 4 + 1

Assim, pela regra do quociente:

g ' x = e 2 x - ln ⁡ x - 3 ' ⋅ x 4 + 1 - e 2 x - ln ⁡ x - 3 ⋅ x 4 + 1 ' x 4 + 1 2  

Muito bom! Agora precisamos calcular individualmente:

e 2 x - ln ⁡ x - 3 ' x 4 + 1 '

Vamos calcular individualmente cada uma dessas derivadas. Começando por:

e 2 x - ln ⁡ x - 3 '

Temos uma operação entre funções. Assim, basta lembrar que a derivada da soma é a soma das derivadas.

e 2 x - ln ⁡ x - 3 ' = e 2 x ' - ln ⁡ x ' - 3 '

Daí, lembrando que a derivada de uma constante é nula e que:

e α x = α ⋅ e α x ln ⁡ x ' = 1 x

Vem:

e 2 x - ln ⁡ x - 3 ' = 2 ⋅ e 2 x - 1 x

Já para a próxima derivada, temos:

x 4 + 1 ' = 4 x 3

Excelente!

Passo 3

Juntando os resultados anteriores na nossa expressão principal, temos:

g ' x = e 2 x - ln ⁡ x - 3 ' ⋅ x 4 + 1 - e 2 x - ln ⁡ x - 3 ⋅ x 4 + 1 ' x 4 + 1 2

∴ g ' x = 2 ⋅ e 2 x - 1 x ⋅ x 4 + 1 - e 2 x - ln ⁡ x - 3 ⋅ 4 x 3 x 4 + 1 2

E essa é a nossa resposta 😊

Obrigado pela atenção gente!!

Resposta

g ' x = 2 ⋅ e 2 x - 1 x ⋅ x 4 + 1 - e 2 x - ln ⁡ x - 3 ⋅ 4 x 3 x 4 + 1 2

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