18 - Use a derivação logarítmica para determinar d y d x :

j )   y = x 2 + 1 π

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nós costumamos usar essa técnica quando queremos calcular a derivada de uma função que está elevada por outra função, algo como:

y = f x g x

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x g x

E então, aplicando a propriedade do “peteleco” do logaritmo, teremos:

ln ⁡ y = g x ln ⁡ f x

Perceba que agora temos uma função implícita de y , e então aplicamos a derivação implícita, sem esquecer que no termo da direita da equação temos uma regra do produto por conta da multiplicação de g x com ln ⁡ f x e também haverá uma regra da cadeia por conta da derivada de ln ⁡ f x , o que ficará:

1 y y ' = g ' x ln ⁡ f x + g x 1 f x f ' x

O y ' nada mais é do que o d y / d x que queremos encontrar.

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = x 2 + 1 π

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 π

ln ⁡ y = π ln ⁡ x 2 + 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = π * 1 x 2 + 1 x 2 + 1 '

Perceba que nesse caso, como π é uma constante, a derivada do lado direito será simplesmente a constante π multiplicando a derivada da função ln ⁡ x 2 + 1

Seguindo...

1 y y ' = π 2 x x 2 + 1

y ' = y * 2 π x x 2 + 1

Só lembrando, esse y ' é a mesma coisa que d y / d x que a questão está pedindo.

Agora para finalizar é só substituir y = x 2 + 1 π no nosso resultado.

Passo 4

Passo 5

y ' = x 2 + 1 π * 2 π x x 2 + 1

Perceba que como temos o termo x 2 + 1 tanto no denominador quanto no numerador da fração, podemos cortar um deles, com isso no denominador teremos 1 e no numerador teremos x 2 + 1 π - 1

y ' = x 2 + 1 π - 1 * 2 π x

Dica: Essa derivada foi resolvida pela técnica da derivação logarítmica, pois foi pedido no enunciado, mas uma forma mais fácil e rápida teria sido aplicar a regra da cadeia na função original, teríamos chegado ao mesmo resultado.

Resposta

y ' = 2 π x x 2 + 1 π - 1

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