6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

m) f x = e x + 3 x a r c s e n x 2  

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = e x + 3 x a r c s e n x 2 .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = e x + 3 x a r c s e n x 2 e sua derivada, será

f ' x = d e x + 3 x a r c s e n x 2 d x

Aplicando a regra do expoente, temos

f ' x = d e a r c s e n x 2 ln ⁡ e x + 3 x d x

Assim, pela regra da cadeia, vamos obter

f ' x = d a r c s e n x 2 ln ⁡ e x + 3 x d x · d e u d u

Perceba que o termo a r c s e n x 2 ln ⁡ e x + 3 x se trata do produto de duas funções de x , portanto para derivar esse termo, podemos aplicar a regra do produto...

f ' x = d a r c s e n x 2 d x · ln ⁡ e x + 3 x + a r c s e n x 2 · d ln ⁡ e x + 3 x d x · d e u d u

E novamente, se olharmos para os termos a r c s e n x 2 e ln ⁡ e x + 3 x , vemos que temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f ' x = d x 2 d x · d a r c s e n v d v · ln ⁡ e x + 3 x + a r c s e n x 2 · d e x + 3 x d x · d ln ⁡ p d p · d e u d u

Bastante coisa, né? 👀

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, as derivadas que temos que calcular, são

d x 2 d x = 2 x

d a r c s e n v d v = 1 1 - v 2

d e x + 3 x d x = e x + 3

d ln ⁡ p d p = 1 p

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = 2 x · 1 1 - v 2 · ln ⁡ e x + 3 x + a r c s e n x 2 · e x + 3 · 1 p · e u

Voltando u para a r c s e n x 2 ln ⁡ e x + 3 x , v para x 2 e p para e x + 3 x , temos

f ' x = 2 x · 1 1 - x 2 2 · ln ⁡ e x + 3 x + a r c s e n x 2 · e x + 3 · 1 e x + 3 x · e a r c s e n x 2 ln ⁡ e x + 3 x

f ' x = 2 x ln ⁡ e x + 3 x 1 - x 4 + a r c s e n x 2 e x + 3 e x + 3 x e x + 3 x a r c s e n x 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 2 x ln ⁡ e x + 3 x 1 - x 4 + a r c s e n x 2 e x + 3 e x + 3 x e x + 3 x a r c s e n x 2

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