6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

l) f x = 1 + c o s 2 x s e n x  

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = 1 + c o s 2 x s e n x .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = 1 + c o s 2 x s e n x e sua derivada, será

f ' x = d 1 + c o s 2 x s e n x d x

Aplicando a regra do expoente, temos

f ' x = d e s e n x ln ⁡ 1 + c o s 2 x d x

Assim, pela regra da cadeia, vamos obter

f ' x = d s e n x ln ⁡ 1 + c o s 2 x d x · d e u d u

Perceba que o termo s e n x ln ⁡ 1 + c o s 2 x se trata do produto de duas funções de x , portanto para derivar esse termo, podemos aplicar a regra do produto...

f ' x = d s e n x d x · ln ⁡ 1 + c o s 2 x + s e n x · d ln ⁡ 1 + c o s 2 x d x · d e u d u

E novamente, se olharmos para o termo ln ⁡ 1 + c o s 2 x , vemos que temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f ' x = d s e n x d x · ln ⁡ 1 + c o s 2 x + s e n x · d 1 + c o s 2 x d x · d ln ⁡ v d v · d e u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas que temos que calcular, são

d s e n x d x = cos ⁡ x

d 1 + c o s 2 x d x = - s e n 2 x

d ln ⁡ v d v = 1 v

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = cos ⁡ x · ln ⁡ 1 + c o s 2 x + s e n x · - s e n 2 x · 1 v · e u

Voltando u para s e n x ln ⁡ 1 + c o s 2 x e v para 1 + c o s 2 x , temos

f ' x = cos ⁡ x ln ⁡ 1 + c o s 2 x - s e n x s e n 2 x 1 + c o s 2 x e s e n x ln ⁡ 1 + c o s 2 x

f ' x = cos ⁡ x ln ⁡ 1 + c o s 2 x - s e n x s e n 2 x 1 + c o s 2 x 1 + c o s 2 x s e n x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = cos ⁡ x ln ⁡ 1 + c o s 2 x - s e n x s e n 2 x 1 + c o s 2 x 1 + c o s 2 x s e n x

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x satisfaz d y d x = e y = 1 e , com y = - 2 quando x=0 .
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x
Calcule f ' x . f x = 2 x