Use a derivação logarítmica para determinar d y d x :

a) y = x + 1 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função e pede para determinarmos d y d x através da derivação logarítmica.

Para entender o que é essa tal de derivação logarítmica, ela é dada de acordo com os seguintes passos:

  1. Devemos aplicar l n dos dois lados da igualdade;
  2. Derivamos implicitamente ambos os lados;
  3. Substituímos y por seu valor dado.

Não entendeu? Então vamos juntos!!

Passo 2

Aplicando l n dos dois lados da igualdade, temos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 x ∴

ln ⁡ y = x ln ⁡ x + 1 ∴

Derivando implicitamente ambos os lados, temos:

d d x ln ⁡ y = d d x x ln ⁡ x + 1 ∴

d y d x ∙ 1 y = ln ⁡ x + 1 + x 1 x + 1 ∴

d y d x = y ln ⁡ x + 1 + x 1 x + 1 ∴

Substituindo y :

d y d x = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x 1 x + 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d y d x = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x 1 x + 1

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x satisfaz d y d x = e y = 1 e , com y = - 2 quando x=0 .
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x
Calcule f ' x . f x = 2 x