18 - Use a derivação logarítmica para determinar d y d x :

k )   f x = c o s x e x

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nós costumamos usar essa técnica quando queremos calcular a derivada de uma função que está elevada por outra função, algo como:

y = f x g x

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x g x

E então, aplicando a propriedade do “peteleco” do logaritmo, teremos:

ln ⁡ y = g x ln ⁡ f x

Perceba que agora temos uma função implícita de y , e então aplicamos a derivação implícita, sem esquecer que no termo da direita da equação temos uma regra do produto por conta da multiplicação de g x com ln ⁡ f x e também haverá uma regra da cadeia por conta da derivada de ln ⁡ f x , o que ficará:

1 y y ' = g ' x ln ⁡ f x + g x 1 f x f ' x

O y ' nada mais é do que o d y / d x que queremos encontrar.

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = f x = c o s x e x

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ c o s ⁡ x e x

ln ⁡ y = e x ln ⁡ c o s x

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = e x ln ⁡ c o s x + e x 1 cos ⁡ x - s e n x

Seguindo...

1 y y ' = e x ln ⁡ cos ⁡ x - e x s e n x cos ⁡ x

Pra deixar bonito, vamos lembrar que s e n ( x ) / c o s ⁡ ( x ) é a mesma coisa que t g ( x )

1 y y ' = e x ln ⁡ cos ⁡ x - e x t g x

Podemos agora, colocar o e x em evidência...

1 y y ' = e x ln ⁡ c o s x - t g x

E deixando o y ' isolado, teremos:

y ' = y * e x ln ⁡ cos ⁡ x - t g x

Agora para finalizar é só substituir y = cos ⁡ x e x no nosso resultado.

Passo 4

Passo 5

y ' = cos ⁡ x e x e x ln ⁡ cos ⁡ x - t g x

Não há muito mais o que fazer, chegamos no resultado

Resposta

d y d x = cos ⁡ x e x e x ln ⁡ cos ⁡ x - t g x

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