Derive:

s )   y = c o s ( 5 x ) s e n ( 2 x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = c o s ( 5 x ) s e n ( 2 x )

Para isso iremos utilizar a regra do quociente, algumas propriedades básicas da derivada e derivadas conhecidas! Vamos relembrá-las uma a uma quando necessário! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, queremos calcular essa derivada, portanto, temos que

y ' = d d x [ c o s ( 5 x ) s e n ( 2 x ) ]

Devemos aplicar a regra do quociente quando temos uma derivada de uma razão de funções, a regra do quociente é tal que

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2

Note que em nosso caso podemos identificar que f ( x ) = c o s ( 5 x ) e g ( x ) = s e n ( 2 x ) . Aplicando a regra do quociente, temos então que

y ' = d d x [ c o s ( 5 x ) ] s e n ( 2 x ) - c o s ( 5 x ) d d x [ s e n ( 2 x ) ] s e n 2 ( 2 x )

Desta forma o problema se reduziu ao cálculo das derivadas mais simples acima! Com uma tabelinha já podemos identificar o resultado delas! Tem anotado aí? Se não, saca só!

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar da seguinte propriedade da derivação que vem da regra da cadeia, temos que

d d x [ f ( c x ) ] = c d d ( c x ) f ( c x )

Ou seja, quando temos uma constante c multiplicando a variável que estamos derivando, nós usamos as regras de derivação normais, mas temos que multiplicar o resultado pela constante! Utilizando então essa propriedade, e que

d d x [ s e n ( 2 x ) ] = 2   c o s ( 2 x )

e,

d d x [ c o s ( 5 x ) ] = - 5   s e n ( 5 x )

Com estes resultados já temos o suficiente para resolver a questão! Era o que esperava? Vou só resumir o resultado final no passo seguinte! Bora lá!

Passo 4

Utilizando os resultados que calculamos no passo anterior, temos que

y ' = d d x [ c o s ( 5 x ) ] s e n ( 2 x ) - c o s ( 5 x ) d d x [ s e n ( 2 x ) ] s e n 2 ( 2 x ) = [ - 5   s e n ( 5 x ) ] s e n ( 2 x ) - c o s ( 5 x ) [ 2   c o s ( 2 x ) ] s e n 2 ( 2 x )

Apenas reorganizando os termos acima, temos que

y ' = - [ 5   s e n ( 5 x ) s e n ( 2 x ) + 2   c o s ( 5 x ) c o s ( 2 x ) ] s e n 2 ( 2 x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ' = - [ 5   s e n ( 5 x ) s e n ( 2 x ) + 2   c o s ( 5 x ) c o s ( 2 x ) ] s e n 2 ( 2 x )

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