2. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções e determine (se existirem) os pontos onde ela se anula.

c. h s = ln ⁡ 1 + e s 2 - s

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver que função exponencial dentro uma logarítmica.

Para quem lembra, a derivada de função exponencial é dada por:

y = a x

y ' = a x ln ⁡ a

Então quando a = e , temos que

y = e x

y ' = e x ln ⁡ e = e x

E no caso da função logarítmica, teremos:

y = log b ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ b 1 x

Então quando b = e , temos que

y = ln ⁡ x

y ' = 1 ln ⁡ e 1 x = 1 x

Mas para resolver essa derivada, vamos ter que usar também a regra da cadeia.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

h s = ln ⁡ 1 + e s 2 - s

Pela a regra da cadeia ficamos com,

h ' s = 1 + e s 2 - s ' ( ln ⁡ ' 1 + e s 2 - s )  

Para resolver a parte 1 + e s 2 - s ' , vamos aplicar a regra da cadeia de novo,

1 + e s 2 - s ' = 1 ' + s 2 - s ' e s 2 - s '

1 + e s 2 - s ' = 0 + 2 s - 1 e s 2 - s

Agora sim, Aplicando as derivas que vimos no Passo 1,

h ' s = 2 s - 1 e s 2 - s 1 1 + e s 2 - s

Agora precisamos ver onde a derivada irá zerar!

Passo 3

Fazendo,

h ' s = 2 s - 1 e s 2 - s 1 1 + e s 2 - s = 0

A função exponencial nunca pode ser zero, então para essa função zerar temos que:

2 s - 1 = 0

Logo,

s = 1 2

Prontinho!

Resposta

  • h ' s = 2 s + 1 e s 2 - s 1 1 + e s 2 - s
  • t = 1 2

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x