Derive:

e) y = ln ⁡ 2 x + 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Então:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Temos que f x = ln ⁡ 2 x + 1 , de forma que f x + h = ln ⁡ 2 x + h + 1 , substituindo temos:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 - ln ⁡ 2 x + 1 h

Sabendo que o limite da soma é a soma dos limites, podemos fazer;

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 - ln ⁡ 2 x + 1 h = lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h

E assim podemos analisar cada limite isoladamente. Vamos lá?!

Passo 3

Para o primeiro:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 h

Veja que se fizemos h = 0 temos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + 1 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 h = lim h → 0 ⁡ d d h ln ⁡ 2 x + h + 1 d d h ( h )

Onde sabemos que d d h ln ⁡ 2 x + h + 1 = 1 2 x + h + 1 * 2 = 2 2 x + h + 1

Assim:

lim h → 0 ⁡ d d h ln ⁡ 2 x + h + 1 d d h ( h ) = lim h → 0 ⁡ 2 2 x + h + 1 1

E agora sim, veja que se fizermos h = 0

lim h → 0 ⁡ 2 2 x + h + 1 1 = 2 2 x + 1

E achamos o nosso primeiro limite. MAAS...

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Agora dito isso, vamos pro segundo limite?

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h

Veja que novamente se fizermos h = 0 temos uma indeterminação

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h = ln ⁡ 2 x + 1 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Assim derivando:

lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h = lim h → 0 ⁡ d d h ln ⁡ 2 x + 1 d d h ( h )

Mas veja que l n ⁡ ( 2 x + 1 ) é constante para h , logo d d h ln ⁡ 2 x + 1 = 0 . Portanto:

lim h → 0 ⁡ d d h ln ⁡ 2 x + 1 d d h ( h ) = lim h → 0 ⁡ 0 1

De forma que:

lim h → 0 ⁡ 0 1 = 0

E achamos o valor do nosso segundo limite.

Agora vamos ver como ficou nossa derivada?

Passo 4

Tínhamos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h

Achamos que

lim h → 0 ⁡   ln ⁡ 2 x + h + 1 h - lim h → 0 ⁡ ln ⁡ 2 x + 1 h = 2 2 x + 1 - 0

Assim concluímos que:

f ' x = 2 2 x + 1

E achamos, portanto, a derivada de f x = l n ⁡ ( 2 x + 1 )

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

y ' = 2 2 x + 1

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x