6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

f) f x = ln ⁡ e x + 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = ln ⁡ e x + 1 .

Como vamos fazer isso? 🤔

A primeira coisa a se fazer nesses casos é analisar a função e identificar o que podemos usar a nosso favor.

Nesse caso, vemos que a função f x se trata de uma função composta, ou seja, podemos reescrevê-la com ln ⁡ u onde u = e x + 1 .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = ln ⁡ e x + 1 e podemos ver que a função interna é dada por e x + 1 e a função externa por ln ⁡ u .

Aplicando a regra da cadeia, temos

f ' x = d ln ⁡ e x + 1 d x = d e x + 1 d x · d ln ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que as derivadas de e x e ln ⁡ u são

d e x + 1 d x = e x

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo os resultados em f ' x

f ' x = e x · 1 u

Voltando u para e x + 1 ...

f ' x = e x · 1 e x + 1

f ' x = e x e x + 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = e x e x + 1

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x