Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

Seja a função

f x = k e x ,     k ∈ R

O que se pode dizer sobre a razão f ' x f x ?

Passo 1

Vamos achar a derivada da f .

A função nada mais é que a função exponencial e x multiplicada pela constante k . Então temos que:

d f d x = k d e x d x

Passo 2

Temos que:

f x = a x → f ' x = a x l n a  

Só que pra exponencial, a derivada acaba sendo ela mesma, pois l n e   = 1 :

d ( e x ) d x = e x l n e   = e x

Então vamos ter:

f ' x = k e x = f x

Passo 3

Ou seja

f ' x f x = k e x k e x = 1

Qualquer função da forma k e x com k constante é igual a sua derivada! Então pra qualquer k diferente de 0 essa razão dá 1 .

Resposta

P a r a   q u a l q u e r   k   d i f e r e n t e   d e   0   a   r a z ã o   v a l e   1 .

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x   satisfaz d y d x = e y = 1 e ,
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x