Calcule a primeira derivada de todas as funções abaixo

c )   f x = 5 x + e t g x - 2 - x + 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

f x = 5 x + e t g x - 2 - x + 1

Puxa, vida e agora? Como derivar isso?

Quando você tiver dentro do argumento de uma função, outra função, vamos usar a regra da cadeia

Supondo

f = f g x

A derivada da f vai ser

f ' = f ' g x . g ' x

Ou seja, vamos derivar a função mais ‘de fora’, mantendo como argumento a outra função. Depois multiplicar pela derivada desse argumento!

Parou por aqui? Ainda não! Você percebe que no argumento da exponencial temos uma outra função?

Então aqui vamos usar a regra da cadeia novamente!

Beleza? Mas relaxa, vamos fazer essas derivadas separadamente!

E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = 5 x + e t g x - 2 - x + 1

Vamos começar com a propriedade que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas

f ' x = 5 x ' + e t g x - 2 - x + 1 '

A derivada de ( 5 x ) é 5 , bem tranquila! Nosso problema é achar a outra derivada!

e t g x - 2 - x + 1 '

A função mais de fora é a exponencial, já que a parte t g x - 2 - x + 1 está no seu argumento! E nada mais justo que lembrarmos da derivada da exponencial

y x = e x → y ' x = e x

Então vamos lá! Vamos aplicar a regra da cadeia:

t g x - 2 - x + 1 ' = e t g x - 2 - x + 1 . t g x - 2 - x + 1 '

tudo bem até aqui?

Nossa missão agora é encontrar t g x - 2 - x + 1 ' , bora lá?

Passo 3

Precisamos derivar agora essa função tangente

t g x - 2 - x + 1

Mas dentro dela temos uma outra função! Sendo assim, vamos aplicar a regra da cadeia! A derivada da tangente é

t g u ' = sec 2 ⁡ u

Beleza?

A regra da cadeia nos diz para derivar a função de fora (mantendo o argumento) depois multiplicar pela derivada desse argumento. Então a derivada da nossa tangente fica assim

t g x - 2 - x + 1 ' = sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1 . x - 2 - x + 1 '  

Agora precisamos derivar o argumento da tangente!

x - 2 - x + 1 ' = - 2 x - 3 - 1 = - 2 x 3 - 1

Aí temos

t g x - 2 - x + 1 ' = sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1 . x - 2 - x + 1 '

t g x - 2 - x + 1 ' = - 2 x 3 - 1 sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1

Belezinha? Agora é só retornar lá para nossa derivada da função original e substituir o resultado!

Passo 4

Nossa função era

f x = 5 x + e t g x - 2 - x + 1

A derivada da soma é a soma das derivadas, então

f ' x = 5 x ' + e t g x - 2 - x + 1 '

E que ficamos com

f ' x = 5 + e t g x - 2 - x + 1 '

Aí do passo 3 achamos que

t g x - 2 - x + 1 ' = e t g x - 2 - x + 1 . t g x - 2 - x + 1 '

E do passo 4

t g x - 2 - x + 1 ' = - 2 x 3 - 1 sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1

Juntando todos esses resultados

f ' x = 5 + e t g x - 2 - x + 1 . - 2 x 3 - 1 sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1  

E é isso pessoal! Nossa resposta fica assim mesmo! Vamos treinar mais?

Resposta

f ' x = 5 + e t g x - 2 - x + 1 . - 2 x 3 - 1 sec 2 ⁡ x - 2 - x + 1  

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