19 - Use a derivação logarítmica para calcular:

d ) y = x x - 2 x 2 + 1 3

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x

E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b  

ln ⁡ a b = b l n a

E no lado esquerdo da expressão temos l n ⁡ ( y ) que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:

ln ⁡ y ' = 1 y y '

O y ' nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = x x - 2 x 2 + 1 3

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x - 2 x 2 + 1 3

Perceba que podemos abrir essa raíz na multiplicação de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x 2 + 1 3 x - 2 3

E perceba que podemos abrir uma das raízes na divisão de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 x 2 + 1 3 x - 2 3

Agora vamos aplicar as propriedades de log da multiplicação e da divisão, o que nos dará:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 3 - ln ⁡ x 2 + 1 3 + ln ⁡ x - 2 3

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = 1 x 3   x 3 ' - 1 x 2 + 1 3 x 2 + 1 3 ' + 1 x - 2 3 x - 2 3 '

Precisamos agora encontrar as derivadas de x 3 , x 2 + 1 3 e x - 2 3

Para isso, vamos lembrar que x 3 = x 1 3 e aplicando a regra do peteleco teremos:

x 1 3 ' = 1 3 x 1 3 - 1 = 1 3 x - 2 3

E por fim lembrar que x - 2 3 = 1 x 2 3

Sendo assim temos:

x 3 ' = 1 3 x 2 3

E analogamente, temos:

x 2 + 1 3 ' = 1 3 x 2 + 1 2 3 x 2 + 1 '

Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia.

x 2 + 1 3 ' = 2 x 3 x 2 + 1 2 3

E por fim, a derivada de x - 2 3

x - 2 3 ' = 1 3 x - 2 2 3 x - 2 '

x - 2 3 ' = 1 3 x - 2 2 3

Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!

Passo 4

A gente tinha que

1 y y ' = 1 x 3   x 3 ' - 1 x 2 + 1 3 x 2 + 1 3 ' + 1 x - 2 3 x - 2 3 '

E substituindo as derivadas teremos:

1 y y ' = 1 x 3 *   1 3 x 2 3 - 1 x 2 + 1 3 * 2 x 3 x 2 + 1 2 3 + 1 x - 2 3 * 1 3 x - 2 2 3

Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em

1 y y ' = 1 3 x 3 3 - 2 x 3 x 2 + 1 3 3 + 1 3 x - 2 3 3

O que possibilita que a gente corte a raíz cúbica:

1 y y ' = 1 3 x - 2 x 3 x 2 + 1 + 1 3 x - 2

E podemos colocar 1 3 em evidência no lado direito da equação...

1 y y ' = 1 3 1 x - 2 x x 2 + 1 + 1 x - 2

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y 3 1 x - 2 x x 2 + 1 + 1 x - 2

Agora para finalizar é só substituir y = x x - 2 x 2 + 1 3 no nosso resultado.

Passo 5

Passo 6

y ' = x x - 2 x 2 + 1 3 3 1 x - 2 x x 2 + 1 + 1 x - 2

Podemos tentar escrever isso de uma forma melhor...

y ' = 1 3 x x - 2 x 2 + 1 3 1 x - 2 x x 2 + 1 + 1 x - 2

Voilá, taí a nossa resposta.

Resposta

y ' = 1 3 x x - 2 x 2 + 1 3 1 x - 2 x x 2 + 1 + 1 x - 2

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
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Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x