Exercícios Resolvidos de Derivada de Função Exponencial e Logarítmica

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Enunciado

Calcule a derivada da função:

y = 5 e 3 x e 2 x + 3 ln ⁡ x

Passo 1

Temos uma soma para derivada, para isso vamos usar as propriedades das derivadas, para organizar vamos fazer:

y = y 1 + y 2

Com

y 1 = 5 e 3 x e 2 x

E

y 2 = 3 ln ⁡ x

Assim, vamos ter:

d y d x = d y 1 d x + d y 2 d x

Passo 2

Vamos começar derivando

y 1 = 5 e 3 x e 2 x

Aqui, como apareceram essas duas exponenciais com a mesma base e , o primeiro passo é arrumar esse cara, lembrando que uma divisão de exponenciais de mesma base dará uma exponencial com essa base e expoente valendo a diferença de seus expoentes:

y 1 = 5 e 3 x - 2 x

y 1 = 5 e x

Passo 3

Aplicando a regra da derivada de funções exponenciais:

f x = e x → f ' x = e x

Teremos:

y 1 = 5 e x

d y 1 d x = 5 e x ' = 5 e x

Passo 4

Agora, vamos derivar

ln ⁡ x

Usando as propriedades de derivadas, vamos ter:

y 2 = 3 ln ⁡ x

d y 2 d x = 3 ( ln ⁡ x ) '

d y 2 d x = 3 1 x

d y 2 d x = 3 x

Passo 5

Assim, vamos ter:

d y d x = d y 1 d x + d y 2 d x

Substituindo o que fizemos nos passos, vamos ter:

d y d x = 5 e x + 3 x

Resposta

d y d x = 5 e x + 3 x

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Verifique que y = - ln ⁡ e 2 - x   satisfaz d y d x = e y = 1 e ,
Calcule g ' x g x = ln ⁡ x
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x
Calcule f ' x . f x = π x