6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

h) f x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = ln ⁡ x + x 2 + 1 .

Como vamos fazer isso? 🤔

A primeira coisa a se fazer nesses casos é analisar a função e identificar o que podemos usar a nosso favor.

Nesse caso, vemos que a função f x se trata de uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo ln ⁡ x + x 2 + 1 como ln ⁡ u onde u = x + x 2 + 1 .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = ln ⁡ x + x 2 + 1 e portanto, sua derivada é

f ' x = d ln ⁡ x + x 2 + 1 d x

Aplicando a regra da cadeia...

f ' x = d x + x 2 + 1 d x · d ln ⁡ u d u

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, então

f ' x = d x d x + d x 2 + 1 d x · d ln ⁡ u d u

Para a derivada do termo x 2 + 1 perceba que é necessário aplicar a regra da cadeia novamente com v como a função externa e x 2 + 1 como a função interna.

f ' x = d x d x + d x 2 + 1 d x · d v d v · d ln ⁡ u d u

Legal, né? 😁

Passo 3

Pelo método de derivação polinomial, as derivadas de x , x 2 + 1 e v serão

d x d x = 1

d x 2 + 1 d x = 2 x

d v d v = 1 2 v

E a derivada de ln ⁡ u é dada pelo teorema fundamental do cálculo...

d ln ⁡ u d u = 1 u

Substituindo em f ' x

f ' x = d x d x + d x 2 + 1 d x · d v d v · d ln ⁡ u d u

f ' x = 1 + 2 x · 1 2 v · 1 u

Substituindo u por x + x 2 + 1 e v por x 2 + 1 de volta, temos

f ' x = 1 + 2 x · 1 2 x 2 + 1 · 1 x + x 2 + 1

f ' x = 1 + x x 2 + 1 1 x + x 2 + 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = 1 + x x 2 + 1 1 x + x 2 + 1

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