Calcule a derivada das funções abaixo

a )   f x = x 5 3 c o s c o s   ( x )   - 3 e x x 7

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

f x = x 5 3 c o s c o s   ( x )   - 3 e x x 7

Mas nota que temos uma razão de funções: no numerador ( x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x e no denominador x 7 . Então como derivar uma razão? Com a Regra do Quociente

Seja uma função do tipo

f x = g x h x

A derivada vai ser:

f ' x = g ' x h x - h ' ( x ) g ( x ) h x 2

Mas espera aí! E o numerador, não temos um produto de funções? Temos sim

x 5 3 c o s c o s   x  

Então precisamos lembrar da Regra do Produto! Supondo uma função f x = g x . h ( x ) , a derivada dela é

f ' x = g ' x h x + h ' ( x ) g ( x )

Então precisamos derivar primeiro o numerador, para depois derivar a função mesmo, já que a derivada do quociente leva a derivada do numerador!

Beleza? Agora é só começar? Ainda não!

Nada mais justo do que começarmos com uma revisão das fórmulas de derivação que aprendemos, não é mesmo?

f x = c o s x → f ' x = - s e n ( x )

f x = e x → f ' x = e x

f x = A x n → f ' x = n A x n - 1

Tranquilo até aqui?

Mas olha só, tem uma última coisinha: se tivermos uma constante multiplicando na frente, ela aparece na derivada também! Agora sim, #partiu derivar?

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = x 5 3 c o s c o s   ( x )   - 3 e x x 7

Como falamos no passo 1 , vamos encontrar a derivada do numerador primeiro! Então precisamos derivar essa parte aqui

x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x '

Como a derivada da diferença é a diferença das derivadas

x 5 3 c o s c o s   x   ' - 3 e x '

O termo mais à direita a gente deriva só aplicando a fórmula da derivada da exponencial, bem de boas! E a derivada do termo mais à esquerda?

É dele que falamos em aplicar a regra do produto! Então vamos lá!

Agora é #partiu derivar! Relembrar é viver

f x = g x h x

f ' x = g ' x h x + h ' ( x ) g ( x )

Aí temos:

x 5 3 c o s c o s   x   ' = x 5 3 ' . c o s c o s   x   + c o s c o s   x   ' . x 5 3

x 5 3 c o s c o s   x   ' = 5 3 x 5 3 - 1 c o s c o s   ( x )     - s e n x . x 5 3 = 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n ( x )

Tudo bem até aqui?

Agora vamos voltar para a derivada do nosso numerador, substituir esse resultado e derivar o que resta:

x 5 3 c o s c o s   x   ' - 3 e x ' = 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x

Passo 3

Retornando para nossa função

f x = x 5 3 c o s c o s   ( x )   - 3 e x x 7

Agora que temos a derivada do numerador podemos aplicar a regra do quociente

f ' x = g ' x h x - h ' ( x ) g ( x ) h x 2

No nosso caso

g x = x 5 3 c o s c o s   ( x )   - 3 e x

g ' x = 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x

E também

h x = x 7

h ' x = 7 x 6

Agora nossa missão é substituir:

f ' x = x 7 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x - 7 x 6 x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x x 7 2

Podemos fazer poucas simplificações, mas fica tranquilo, a resposta vai ser enorme mesmo! Você não vai precisar fazer altas manobras aqui!

f ' x = x 7 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x - 7 x 6 x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x x 14

f ' ( x ) = 1 x 7 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x - 7 x 8 x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x

Ufa terminamos! É isso pessoal! Vamos treinar mais?

Resposta

f ' ( x ) = 1 x 7 5 3 x 2 3 - x 5 3 s e n x - 3 e x - 7 x 8 x 5 3 c o s c o s   x   - 3 e x

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