19 - Use a derivação logarítmica para calcular:

a ) y = x x + 1

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x

E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b  

E no lado esquerdo da expressão temos l n ⁡ ( y ) que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:

ln ⁡ y ' = 1 y y '

O y ' nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = x x + 1

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x + 1

Perceba que podemos abrir essa raíz na multiplicação de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ x * x + 1

Aplicando a propriedade do logaritmo da multiplicação é a soma dos logaritmos, teremos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = 1 x   x ' + 1 x + 1 x + 1 '

Precisamos agora encontrar as derivadas de x   e x + 1 ...

Para isso, vamos lembrar que x = x 1 2 e aplicando a regra do peteleco teremos:

x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

E por fim lembrar que x - 1 2 = 1 x

Sendo assim temos:

x ' = 1 2 x

E analogamente, temos:

x + 1 ' = 1 2 x + 1 x + 1 '

Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia. Nesse exemplo, isso não fará diferença, pois x + 1 ' = 1 , mas é preciso ficar atento nisso!

x + 1 ' = 1 2 x + 1

Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!

Passo 4

A gente tinha que

1 y y ' = 1 x   x ' + 1 x + 1 x + 1 '

E substituindo as derivadas teremos:

1 y y ' = 1 x   1 2 x + 1 x + 1   1 2 x + 1

Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em

1 y y ' = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 2

O que possibilita que a gente corte as raízes:

1 y y ' = 1 2 x + 1 2 x + 1

1 y y ' = 1 2 x + 1 2 x + 2

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = y * 1 2 x + 1 2 x + 2

Agora para finalizar é só substituir y = x x + 1 no nosso resultado.

Passo 5

Passo 6

y ' = x x + 1 * 1 2 x + 1 2 x + 2

Você pode deixar assim, ou então multiplicar de forma distributiva, que vai dar em:

  y ' = x x + 1 2 x + x x + 1 2 x + 2

Não há muito mais o que fazer, chegamos no resultado

Resposta

y ' = x x + 1 2 x + x x + 1 2 x + 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x