Derive:

k )   f ( x ) = 1 + e 3 x 1 - e 5 x

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( x ) = 1 + e 3 x 1 - e 5 x           ( 1 )  

Note que a nossa função é da forma

f ( x ) = g ( x ) h ( x )

Ou seja, é um quociente de funções. Sendo assim, é conveniente utilizar a regra do quociente da forma

d d x [ g ( x ) / h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

Acha que consegue fazer só com isso? Se ficar com dúvida, segue comigo!

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, temos que

d d x [ 1 + e 3 x 1 - e 5 x ] = d d x [ 1 + e 3 x ] ( 1 - e 5 x ) - ( 1 + e 3 x ) d d x [ 1 - e 5 x ] [ 1 - e 5 x ] 2

Ambas as derivadas são bem semelhantes, vamos começar com

d d x [ 1 + e 3 x ] = d d x [ 1 ] + d d x [ e 3 x ]

Lembrando que derivada de constantes é zero, e que podemos identificar derivadas da exponencial como

d d x [ e a x ] = a e a x

Podemos escrever simplesmente que

d d x [ 1 + e 3 x ] = 0 + 3 e 3 x = 3 e 3 x

Tenta fazer a outra sozinho e checa o resultado comigo no próximo passo! É igualzinha! Beleza? Bora lá!

Passo 3

A derivada que falta é da forma

d d x [ 1 - e 5 x ] = d d x [ 1 ] - d d x [ e 5 x ] = 0 - 5 e 5 x

Ou seja, podemos escrever que

d d x [ 1 - e 5 x ] = - 5 e 5 x

Usando ambos os resultados em nossa derivada original, temos que

d d x [ 1 + e 3 x 1 - e 5 x ] = ( 3 e 3 x ) ( 1 - e 5 x ) - ( 1 + e 3 x ) ( - 5 e 5 x ) [ 1 - e 5 x ] 2

Apenas reescrevendo um pouco, temos que

d d x [ 1 + e 3 x 1 - e 5 x ] = 3 e 3 x ( 1 - e 5 x ) + 5 e 5 x ( 1 + e 3 x ) [ 1 - e 5 x ] 2

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

d d x [ 1 + e 3 x 1 - e 5 x ] = 3 e 3 x ( 1 - e 5 x ) + 5 e 5 x ( 1 + e 3 x ) [ 1 - e 5 x ] 2

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