A derivada da função inversa escrita na notação de Leibniz (última linha da tabela do exercício P1.) pode confundir um pouco a nossa cabeça pois nem aparece uma função inversa efetivamente na fórmula. A explicação para isso é que essa fórmula está adaptada para a situação que normalmente usamos em problemas aplicados. Imagine um objeto cuja velocidade em função do tempo é dada por v ( t )   =   5 e - 2 t .

  1. Calcule d v d t .
  2. Isole t e determine t ( v ) .
  3. Calcule d t d v .
  4. A resposta do item (a) para d v d t ficou em função de t , enquanto a resposta do item (c) para d t d v ficou em função de v . Como sabemos que v e t estão relacionados pela função do enunciado ou pela resposta ou item (b), podemos escrever d v d t em função de v e d t d v em função de t . Use alguma dessas escritas para confirmar que d t d v = 1 d v / d t .

Passo 1

Falaee, beleza?? Seguinte.. na letra (a) vamos apenas derivar a função:

  d v d t = d 5 e - 2 t d t ∴

d v d t = 5 - 2 e - 2 t ∴

d v d t = - 10 e - 2 t

Passo 2

Na letra (b) vamos isolar o t e, com isso, encontraremos t ( v ) .

v   =   5 e - 2 t ∴

v 5 = e - 2 t ∴

ln ⁡ v 5 = ln ⁡ e - 2 t ∴

ln ⁡ v 5 = - 2 t ∴

t = - 1 2 ln ⁡ v 5

Passo 3

Na letra (c), como acabamos de descobrir que t = - 1 2 ln ⁡ v 5 , agora é só derivar em função de v :

d t d v = d - 1 2 ln ⁡ v 5 d v ∴

d t d v = - 1 2 ∙ d d v v 5 ∙ 1 v 5 ∴

d t d v = - 1 2   ∙ 1 5 ∙ 5 v ∴

d t d v = - 1 2 v

Passo 4

Por fim, para a letra (d), vamos confirmar se é verdade que d t d v = 1 d v / d t .

Para isso, vamos pegar o resultado da letra (a), em que:

d v d t = - 10 e - 2 t

Na letra (b), vemos que t = - 1 2 ln ⁡ v 5 . Assim, substituindo, temos:

d v d t = - 10 e ln ⁡ v 5 ∴

d v d t = - 10 ∙ v 5 ∴

d v d t = - 2 v

Como d t d v = - 1 2 v e d v d t = - 2 v , podemos afirmar então que

d t d v = 1 d v / d t

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. d v d t = - 10 e - 2 t
  2. t = - 1 2 ln ⁡ v 5
  3. d t d v = - 1 2 v
  4. d t d v = 1 d v / d t

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x