Determine as derivadas das funções abaixo:

a) f x = e x + 1 s e n ( x 2 + 2 x )

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo tranquilo?

Nessa questão precisamos determinar a derivada da função:

f x = e x + 1 s e n ( x 2 + 2 x )

Como podemos ver, trata-se do produto de uma função exponencial com uma função trigonométrica. Assim, precisaremos usar a regra do produto, que diz:

f ⋅ g ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Além disso, nessas funções exponencial e trigonométrica, temos uma função composta. Assim, precisaremos também usar a regra da cadeia, que diz:

d ( f g x d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Massa! Agora que demos uma revisada nessas propriedades, vamos lá! Mãos à obra hahaha

Passo 2

Temos:

f x = e x + 1 s e n ( x 2 + 2 x )

Que é o produto de e x + 1 por s e n ( x 2 + 2 x ) . Assim, pela regra do produto:

f ' x = e x + 1 ' ⋅ s e n x 2 + 2 x + e x + 1 ⋅ s e n x 2 + 2 x '

Nosso trabalho então se resume a calcular cada uma dessas derivadas.

Começando pela exponencial, temos:

e x + 1 ' = ( e u ) '

onde u = x + 1 . Daí, aplicando a regra da cadeia:

d e x + 1 d x = d e u d u ⋅ d x + 1 d x

= e u ⋅ 1

Ou seja:

d e x + 1 d x = e x + 1

Já para a nossa segunda função, temos:

d s e n x 2 + 2 x d x = d s e n u d u ⋅ d x 2 + 2 x d x

onde u = x 2 + 2 x . Logo:

d s e n x 2 + 2 x d x = cos ⁡ u ⋅ 2 x + 2

= 2 x + 2 ⋅ cos ⁡ x 2 + 2 x

Muito bom!!

Passo 3

Agora que já descobrimos cada uma das derivadas podemos voltar à nossa expressão original. Assim, temos:

f ' x = e x + 1 ' ⋅ s e n x 2 + 2 x + e x + 1 ⋅ s e n x 2 + 2 x '

onde:

d e x + 1 d x = e x + 1 = 2 x + 2 ⋅ cos ⁡ x 2 + 2 x

Daí:

f ' x = e x + 1 ⋅ s e n x 2 + 2 x + e x + 1 ⋅ 2 x + 2 ⋅ cos ⁡ x 2 + 2 x

⇒ f ' x = e x + 1 ⋅ s e n x 2 + 2 x + 2 x + 2 ⋅ cos ⁡ x 2 + 2 x

Prontinho!! Matamos essa derivada.

Eaí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

f ' x = e x + 1 ⋅ s e n x 2 + 2 x + 2 x + 2 ⋅ cos ⁡ x 2 + 2 x

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