Encontre y ' para cada uma das curvas abaixo:

b )   y = x 2 + 3 5 x - π

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de derivada de uma função! Precisamos encontrar a derivada dessa função aqui

f x = x 2 + 3 5 x - π

Puxa, vida e agora? Como derivar isso?

Quando você tiver dentro do argumento de uma função, outra função, vamos usar a regra da cadeia

Supondo

f = f g x

A derivada da f vai ser

f ' = f ' g x . g ' x

Ou seja, vamos derivar a função mais ‘de fora’, mantendo como argumento a outra função. Depois multiplicar pela derivada desse argumento!

Parou por aqui? Ainda não! Isso porque temos nossa variável tanto na base da exponencial quanto no expoente! #ALERTATRUQUESUJO

como que fazemos pra nos livrar daquele expoente? Pela propriedade dos logaritmos, saca só

a b = e ln ⁡ a b = e b ln ⁡ a

Usando essa propriedade vamos conseguir ter um produto de funções e assim aplicar as regras de derivação que já conhecemos

E é lógico que vou fazer passo a passo com você! Bora começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

f x = x 2 + 3 5 x - π

Vamos aplicar aquele truque sujo do logaritmo

f x = e ln ⁡ x 2 + 3 5 x - π = e 5 x - π ln ⁡ ( x 2 + 3 )

E agora? Agora vamos aplicar a derivada! A função mais de fora é a exponencial, já que em seu argumento temos um produto de outras duas funções, sendo assim vamos usar a regra da cadeia

f ' = f ' g x . g ' x

No nosso caso g x = 5 x - π ln ⁡ ( x 2 + 3 ) , daí temos

f ' x = e 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3 . d d x 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3

Nossa missão agora é encontrar

d d x 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3

Bora lá?

Passo 3

Precisamos derivar o argumento da exponencial, esse termo aqui

d d x 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3

Usando a regra do produto temos

5 x - π ' . ln ⁡ x 2 + 3 + ln ⁡ x 2 + 3 ' . ( 5 x - π )  

Derivando temos

5 . ln ⁡ x 2 + 3 + 1 x 2 + 3 2 x . ( 5 x - π )

Reorganizando

5 ln ⁡ ( x 2 + 3 ) + 2 x 5 x - π x 2 + 3

Belezinha?

Agora é só retornar lá para nossa derivada da função original e substituir o resultado!

Passo 4

Nossa função era

f x = x 2 + 3 5 x - π

Aplicando aquele truque sujo e a regra da cadeia ficamos com

f ' x = e 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3 . d d x 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3

E no passo anterior calculamos d d x 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3 = 5 ln ⁡ ( x 2 + 3 ) + 2 x 5 x - π x 2 + 3 , agora é só substituir:

f ' x = e 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3 . 5 ln ⁡ x 2 + 3 + 2 x 5 x - π x 2 + 3

Ainda tem mais um detalhe! Lembra do nosso truque sujo?

e 5 x - π ln ⁡ x 2 + 3 = e ln ⁡ x 2 + 3 5 x - π = x 2 + 3 5 x - π

Então podemos retornar para a parte original em na resposta!

f ' x = x 2 + 3 5 x - π . 5 ln ⁡ x 2 + 3 + 2 x 5 x - π x 2 + 3

Tranquilo? Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

f ' x = x 2 + 3 5 x - π . 5 ln ⁡ x 2 + 3 + 2 x 5 x - π x 2 + 3

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x