Derive:

u )   y = ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

  y = ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3

Para isso iremos utilizar a regra da cadeia e algumas propriedades básicas da derivada, assim como derivadas conhecidas! Vamos relembrá-las uma a uma quando necessário! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, queremos calcular essa derivada, portanto, temos que

y ' = d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ]

Vamos lembrar que quando temos uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( i ( x ) ) ) , temos que a derivada será obtida pela regra da cadeia, ou seja

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d i [ g ( i ) ] d d x [ i ( x ) ]

se identificarmos que f ( g ) = g 3 , que g = l n ( i ) e também que i ( x ) = x 2 + 1 , temos que a derivada será dada por

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = d d g [ g 3 ] d d i [ l n ( i ) ] d d x [ x 2 + 1 ]

Consegue lembrar qual serão os resultados individuais? Bora resolver isso!

Passo 3

De cara, temos que a seguinte derivada é conhecida

d d i [ l n ( i ) ] = 1 i

Para as próxima derivadas, vamos lembrar a regra do tombo, ela diz que

d d x [ x n ] = n   x n - 1

Podemos escrever que

d d g [ g 3 ] = ( 3 ) g 3 - 1 = 3 g 2

Ainda falta uma última derivada! Vamos ter que utilizar uma propriedade da derivada e a regra do tombo novamente! Assim como fizemos agora, então vamos lá!

Passo 4

Temos que falta apenas a seguinte derivada

d d x [ x 2 + 1 ] = d d x [ x 2 ] + d d x [ 1 ]

já que a derivada da soma é a soma das derivadas. Também temos que a derivada de qualquer constante é zero, e usando a regra do tombo, obtemos

d d x [ x 2 + 1 ] = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Se juntarmos os três resultados que calculamos acima, com g = l n ( x 2 + 1 ) e i ( x ) = x 2 + 1 , temos que

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = d d g [ g 3 ] d d i [ l n ( i ) ] d d x [ x 2 + 1 ] = [ 3 l n 2 ( x 2 + 1 ) ] [ 1 x 2 + 1 ] [ 2 x ]

Apenas reorganizando os números para ficar bonitinho, temos que

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 6 x   l n 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ ( l n ( x 2 + 1 ) ) 3 ] = 6 x   l n 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1

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