19 - Use a derivação logarítmica para calcular:

c ) y = 1 x x + 1

Passo 1

Fala pessoal, a ideia aqui é a gente calcular a derivada usando a técnica da derivação logarítmica. Nesse caso, nós usaremos essa técnica para poder aproveitar as propriedades dos logaritmos.

Nossa estratégia aqui será aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da expressão:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x

E então, no lado direito da expressão, iremos usar as propriedades de logaritmo para tornar nossa expressão mais simples e portanto mais fácil de derivar, as propriedades que usaremos são:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b  

ln ⁡ a b = b l n a

E no lado esquerdo da expressão temos l n ⁡ ( y ) que iremos derivar implicitamente, o que ficará como:

ln ⁡ y ' = 1 y y '

O y ' nada mais é do que a derivada que queremos encontrar...

Passo 2

Temos nesse caso que:

y = 1 x x + 1

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 x x + 1

Perceba que podemos abrir essa raíz na divisão de duas raízes:

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 x x + 1

E que raíz de 1 é o próprio 1 . Aplicando a propriedade de que o logaritmo da divisão é a subtração de logaritmos, teremos:

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 - ln ⁡ x x + 1

Agora, ainda lembrando das propriedades de logaritmos, temos duas que são importantes aqui. ln ⁡ 1 = 0 , ou seja, o logaritmo de 1 é igual a 0 . E perceba que podemos abrir aquela raíz na multiplicação de duas raízes, e então o log da multiplicação é a soma dos log’s.

ln ⁡ y = 0 - ln ⁡ x x + 1

ln ⁡ y = - ln ⁡ x + ln ⁡ x + 1

ln ⁡ y = - ln ⁡ x - ln ⁡ x + 1

O próximo passo é derivar implicitamente, bora lá!

Passo 3

1 y y ' = - 1 x   x ' - 1 x + 1 x + 1 '

Precisamos agora encontrar as derivadas de x   e x + 1 ...

Para isso, vamos lembrar que x = x 1 2 e aplicando a regra do peteleco teremos:

x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

E por fim lembrar que x - 1 2 = 1 x

Sendo assim temos:

x ' = 1 2 x

E analogamente, temos:

x + 1 ' = 1 2 x + 1 x + 1 '

Perceba que nesse caso, precisamos multiplicar pela derivada do termo de dentro da raíz, pois temos aqui uma regra da cadeia. Nesse exemplo, isso não fará diferença, pois x + 1 ' = 1 , mas é preciso ficar atento nisso!

x + 1 ' = 1 2 x + 1

Vou substituir tudo no próximo passo, calma aí!

Passo 4

A gente tinha que

1 y y ' = - 1 x   x ' - 1 x + 1 x + 1 '

E substituindo as derivadas teremos:

1 y y ' = - 1 x   1 2 x - 1 x + 1 1 2 x + 1 '

Podemos multiplicar essas frações, o que vai dar em

1 y y ' = - x 2 x 2 - 1 2 x + 1 2

O que possibilita que a gente corte a raíz:

1 y y ' = - x 2 x - 1 2 x + 1

Cortanto x com x (para isso, devemos considerar que x = 0 não é domínio dessa função (e realmente não é).

1 y y ' = - 1 2 - 1 2 x + 1

E podemos colocar - 1 2 em evidência no lado direito da equação...

1 y y ' = - 1 2 1 + 1 x + 1

Não tem muito mais o que fazer, vamos deixar o y ' isolado...

y ' = - y 2 1 + 1 x + 1

Agora para finalizar é só substituir y = 1 x x + 1 no nosso resultado.

Passo 5

Passo 6

y ' = - 1 x x + 1 2 1 + 1 x + 1

Podemos tentar escrever isso de uma forma melhor...

y ' = - 1 2   1 x x + 1 1 + 1 x + 1

Lembra que essa raíz pode ser aberta na divisão de duas raízes:

y ' = - 1 2   1 x x + 1   1 + 1 x + 1

E por fim, ficamos com:

y ' = -   1 2 x x + 1   1 + 1 x + 1

Voilá, taí a nossa resposta.

Resposta

y ' = -   1 2 x x + 1   1 + 1 x + 1

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