1. Deriva

e. f x = x x x  

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos uma derivada para resolver que é uma função exponencial dentro da outra.

Para quem lembra, a derivada de função exponencial é dada por:

y = a x

y ' = a x ln ⁡ a

Repara também que temos a variável x no expoente e na base. Sendo assim, vamos ter que fazer uma derivação implícita. Mas para isso, vamos ter que aplicar essa propriedade antes,

a b = e b ln ⁡ a

Agora vamos resolver!

Passo 2

Aplicando a propriedade exponencial, ficamos com

f x = e x x ln ⁡ x

Aplicando, ln ⁡ dos dois lados, ficamos com,

ln ⁡ f x = ln ⁡ e x x ln ⁡ x

ln ⁡ f x = x x ln ⁡ x

Agora sim, podemos derivar implicitamente!

Passo 3

Derivando dos dois lados, ficamos com

1 f x f ' x = x x ' ln ⁡ x + 1 x

Galerinha, reparou que ficamos com uma parte x x ' , onde caímos no mesmo problema? Temos uma função com a variável x na base e expoente. Então vamos aplicar a mesma estratégia para derivar essa parte.

Passo 4

Vamos chamar,

h x = x x

E queremos achar,

h ' x = x x '

Aplicando a nossa propriedade logarítmica, ficamos com

ln ⁡ h x = ln ⁡ e x ln ⁡ x

ln ⁡ h x = x ln ⁡ x

Derivando implicitamente,

1 h x h ' x = ln ⁡ x + x 1 x = ln ⁡ x + 1

Ajeitando,

h ' x = h x ln ⁡ x + 1

Galerinha, não podemos deixar em função de h x . Mas lembra que definimos h x = x x ? Então, vamos substituir,

h ' x = x x ln ⁡ x + 1

Ou seja,

x x ' = x x ln ⁡ x + 1

Agora que encontramos quem é x x ' podemos seguir com a nossa derivada!

Passo 5

Nós tínhamos parada aqui:

1 f x f ' x = x x ' ln ⁡ x + 1 x

Substituindo x x ' ,

1 f x f ' x = x x ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 1 x

Ajeitando,

f ' x = f x x x ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 1 x

Opaaa, de novo não podemos deixar em função de f x , mas pelo enunciado sabemos quem é ele. Sendo assim, temos que,

f ' x = x x x x x ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 1 x

Prontinho!

Resposta

f ' x = x x x x x ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x + 1 x

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