Derive:

c) y = e 3 x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos tomá-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Então temos:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Onde f x = y = e 3 x . Assim f x + h = e 3 x + h . Logo:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡   e 3 x + h - e 3 x h

Sabemos que e 3 x + h = e 3 x * e 3 h . De forma que:

lim h → 0 ⁡   e 3 x + h - 3 x h = lim h → 0 ⁡   e 3 x * e 3 h - e 3 x h

Fatorando e 3 x

lim h → 0 ⁡   e 3 x * e 3 h - e 3 x h = lim h → 0 ⁡   e 3 x e 3 h - 1 h

E agora vamos lá resolver esse limite?

Passo 3

Então temos:

lim h → 0 ⁡   e 3 x e 3 h - 1 h

Vemos que se fizemos h = 0 temos uma indeterminação:

lim h → 0 ⁡   e 3 x e 3 h - 1 h = e 3 x 1 - 1 0 = 0 0

Então podemos aplicar uma sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Ele é usado quando termos indeterminações num limite. Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡   e 3 x e 3 h - 1 h = lim h → 0 ⁡   d d h e 3 x e 3 h - 1 d d h h

Sabendo que a derivada de e 3 h com relação à h é 3 e 3 h . Logo:

lim h → 0 ⁡   e 3 x 3 e 3 h - 0 1

Agora sim se temos h = 0

lim h → 0 ⁡   e 3 x 3 e 3 h - 0 1 = e 3 x 3 * e 0 1 = 3 e 3 x

Então concluímos que a derivada de e 3 x é 3 e 3 x

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

y ' = 3 e 3 x

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Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
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Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x