3. Sabendo que f é uma função derivável com f 1 = 3 e que

h x = x e f 2 x + f x

é a função constante 3 , calcule f ' 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos achar a nossa f ' x para depois calcular a nossa f ' 1 . Mas a dúvida agora é, como eu acho a minha f ' x .

Vamos começar a achando a função que vamos derivar. O problema diz que h x = 3 . Sendo assim,

3 = x e f 2 x + f x

Agora vamos derivar essa função!

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, a nossa função é

3 = x e f 2 x + f x

Como queremos a derivada de f x , vamos tentar encontrá-la derivando todo mundo aí. E para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, e derivando essa função dos dois lados. Fazendo isso, ficamos com:

0 = x ' e f 2 x + x e f 2 x ' + f ' x

0 = e f 2 x + x 2 f x f ' x e f 2 x + f ' x

Isolando f ' x ficamos com

f ' x 1 + 2 f x e f 2 x = - e f 2 x

f ' x = - e f 2 x 1 + 2 f x e f 2 x

Agora podemos calcular o nosso f ' 1

Passo 3

Fazendo x = 1 , ficamos com,

f ' x = - e f 2 1 1 + 2 f 1 e f 2 1

Agora precisamos saber quanto vale e f 2 x . Mas lembra que f 1 = 3 , então o quadrado disso será

f 2 1 =   f 1 2 = 3 2 = 9

Logo,

f ' 1 = - e 9 1 + 2 3 e 9

f ' 1 = - e 9 1 + 6 e 9

Prontinho!

Resposta

f ' x = - e 9 1 + 6 e 9

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