Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

O anel de raio R mostrado na Figura 1 contém uma carga total q uniformemente distribuída. O potencial elétrico devido ao anel em um ponto qualquer do eixo z é:

V 0,0 , z = q 4 π ε 0 1 z 2 + R 2

(a) Use o resultado acima para determinar uma expressão para o potencial elétrico em um ponto arbitrário z 0 do eixo z   ( z 0 > 0 ) devido a um disco de raio A carregado com a densidade superficial σ r = σ 0 ( r / A ) , onde r é a distância de um ponto do disco ao seu centro (Figura 1 ).

Suponha agora que a casca cilíndrica da Figura 2 seja longa ( L ≫ R ) e que os pontos de interesse sejam externos a ela e próximos da sua superfície, mas afastados de suas extremidades.

(b) Determine o vetor campo elétrico em um ponto de interesse arbitrário, em função da distância r ao eixo da casca cilíndrica.

(c) Use o resultado do item anterior para determinar a diferença entre os potenciais elétricos (ddps) de pontos de interesse situados em r = 2 R e r = 4 R .

Passo 1

(a) O disco será subdividido em anéis de espessura d r . A carga de um anel de raio r será q = 2 π r d r σ ( r ) = 2 π r d r σ 0 r / A . Portanto, a contribuição do anel de raio r para o potencial elétrico no ponto arbitrário z 0 do eixo z   ( z 0 > L / 2 ) é:

d V   0,0 , z 0 = 2 π σ 0 4 π ε 0 A r 2 d r z 0 2 + r 2

Portanto, para achar o potencial resultante, devemos integrar:

V 0,0 , z 0 = σ 0 2 ε 0 A   ∫ 0 A r 2 d r z 0 2 + r 2

Essa integral é um pouco complicada, mas uma integral por partes resolve ela, resultando em:

V 0,0 , z 0 = σ 0 4 ε 0 A   r z 0 2 + r 2 - z 0 2 ln ⁡ z 0 2 + r 2 + r 0 A

Simplificando:

V 0,0 , z 0 = σ 0 4 ε 0 A   A z 0 2 + A 2 + z 0 2 L n z 0 - z 0 2 L n z 0 2 + A 2   A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Supondo uma superfície Gaussiana cilíndrica de altura h e raio r , cujo eixo coincide com o da casca, obtém-se:

Φ = E A = Q i n t ε 0 → E r = σ 2 π R h ε 0 2 π r h

Sabendo que, quando r < R a carga interna será nula, temos, reorganizando:

2 π r h ε 0 E r = 2 π R h σ       r > R 0       r < R   → E → r =   R σ ε 0 r ^ r         r > R 0 →       r < R

Passo 3

(c) Queremos:

Δ V = V 4 R - V 2 R

Fazendo a integração do campo elétrico entre esses dois raios:

  ∆ V = - ∫ 2 R 4 R E → . d s →

Agora substituindo a expressão de campo elétrico que encontramos no item anterior:

∆ V = - R σ ε 0   ∫ 2 R 4 R r ^ r   d r   r ^

Integrando:

∆ V = - R σ ε 0 L n r | 2 R 4 R

Portanto:

∆ V = - R σ ε 0 L n ( 2 )

Resposta

a) V 0,0 , z 0 = σ 0 4 ε 0 A   A z 0 2 + A 2 + z 0 2 L n z 0 - z 0 2 L n z 0 2 + A 2   A

b) 2 π r h ε 0 E r = 2 π R h σ       r > R 0       r < R   → E → r =   R σ ε 0 r ^ r         r > R 0 →       r < R

c) ∆ V = - R σ ε 0 L n ( 2 )

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