Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

PUCRIO - Física 3 – P1 2013.1 – 3I

C a s o   A

O anel de raio R mostrado na Figura 1 tem a densidade linear de carga:

λ φ = λ 0 + λ 1   cos ⁡ φ ( 0 ≤ φ ≤ 2 π )

a ) Determine uma expressão para o potencial elétrico em um ponto arbitrário do eixo z (perpendicular ao plano do anel que contém a origem O ).

b ) é possível obter uma expressão para o vetor campo elétrico a partir do resultado do item ( a ) ? Justifique sua resposta e determine as expressões para as componentes do campo elétrico para as quais a operação proposta seja possível.

Passo 1

a )

Para determinar o potencial a uma distancia z qualquer da origem, vamos começar com o potencial produzido por uma carga infinitesimal:

d V = k d q r

Onde d q = λ ( ϕ ) . d l = λ ϕ . R . d ϕ , e r é a distância entre cada carga e o ponto z logo r = R 2 + z 2 . Substituindo:

d V = k λ ( ϕ ) . R . d ϕ R 2 + z 2

Integrando:

V z = ∫ 0 2 π k λ ( ϕ ) . R . d ϕ R 2 + z 2

V z = k . R R 2 + z 2 ∫ 0 2 π λ 0 + λ 1 . cos ⁡ ϕ d ϕ

V z = k . R R 2 + z 2 λ 0 . 2 π

V z = k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Podemos determinar o campo elétrico através da seguinte relação:

E → = - ∇ V

Como calculamos o potencial variando a distância z , só poderemos determinar o campo nessa direção:

E → z = - ∂ ∂ z k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2 ��

E → z = - k . λ 0 . 2 . π . R - 1 2 . 2 . z R 2 + z 2 3 2  

E → z = k . λ 0 . 2 . π . R . z R 2 + z 2 3 2  

Resposta

a ) V z = k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2  

b ) E → z = k . λ 0 . 2 . π . R . z R 2 + z 2 3 2  

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