Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

PUCRIO, Física 3 - FIS1051, P1 - 2013.1, Questão 3I

C a s o   A

O anel de raio R mostrado na Figura 1 tem a densidade linear de carga:

λ φ = λ 0 + λ 1   cos φ ( 0 φ 2 π )

a ) Determine uma expressão para o potencial elétrico em um ponto arbitrário do eixo z (perpendicular ao plano do anel que contém a origem O ).

b ) é possível obter uma expressão para o vetor campo elétrico a partir do resultado do item ( a ) ? Justifique sua resposta e determine as expressões para as componentes do campo elétrico para as quais a operação proposta seja possível.

Passo 1

a )

Para determinar o potencial a uma distancia z qualquer da origem, vamos começar com o potencial produzido por uma carga infinitesimal:

d V = k d q r

Onde d q = λ ( ϕ ) . d l = λ ϕ . R . d ϕ , e r é a distância entre cada carga e o ponto z logo r = R 2 + z 2 . Substituindo:

d V = k λ ( ϕ ) . R . d ϕ R 2 + z 2

Integrando:

V z = 0 2 π k λ ( ϕ ) . R . d ϕ R 2 + z 2

V z = k . R R 2 + z 2 0 2 π λ 0 + λ 1 . cos ϕ d ϕ

V z = k . R R 2 + z 2 λ 0 . 2 π

V z = k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Podemos determinar o campo elétrico através da seguinte relação:

E = - V

Como calculamos o potencial variando a distância z , só poderemos determinar o campo nessa direção:

E z = - z k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2 ��

E z = - k . λ 0 . 2 . π . R - 1 2 . 2 . z R 2 + z 2 3 2  

E z = k . λ 0 . 2 . π . R . z R 2 + z 2 3 2  

Resposta

a ) V z = k . R . λ 0 . 2 π R 2 + z 2  

b ) E z = k . λ 0 . 2 . π . R . z R 2 + z 2 3 2  

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