Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma barra fina e isolante de comprimento 2 a é posicionada sobre o eixo O X de um sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo.

Ela possui uma densidade linear de carga não-uniforme dada por λ x ' = λ 0 . x ' a . - a ≤ x ' ≤ a , onde λ 0 é uma constante positiva. Considere que o potencial elétrico é nulo no infinito.

a Determine o potencial elétrico em um ponto P sobre o eixo O X , a uma distância x > a da origem.

b Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item a no limite x ≫ a . Interprete o resultado.

No formulário tem essa integral simpática (nem tanto):

∫ x ' x - x ' d x ' = - ∫ x ' x ' - x d x ' = - x ' - x ln ⁡ x ' - x

E também tem essa aproximação:

ln ⁡ 1 + x 1 - x ≅ 2 x + 2 3 x 3 + … ,     p a r a   x ≪ 1

Passo 1

a Determine o potencial elétrico em um ponto P sobre o eixo O X , a uma distância x > a da origem.

A estratégia pra esse tipo de problema é começar pegando um pedaço muito pequeno da barra, com uma carga infinitesimal d q , se liga:

O potencial d V gerado por esse pedaço infinitesimal será:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r

Onde podemos associar a carga infinitesimal à densidade linear de carga da seguinte forma:

λ = d q d x ' → d q = λ   d x '

d q = λ 0 x ' a d x '

Além disso, a distância r pode ser escrita como:

r = x - x '

Dessa forma, substituindo esses caras na expressão de d V , temos que:

d V = 1 4 π ϵ 0 λ 0 x ' a x - x ' d x '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer agora é integrar essa expressão, onde - a ≤ x ' ≤ a .

V = ∫ - a a 1 4 π ϵ 0 λ 0 x ' a x - x ' d x ' = λ 0 4 π ϵ 0 a ∫ - a a x ' x - x ' d x '

Algumas vezes a gente pode acabar travando na integral, então quando aparecer algo que você não esteja acostumado, dê uma olhada no formulário, porque a resolução dessa integral pode estar lá (o que acontece no caso dessa prova).

Então, de acordo com o formulário:

∫ x ' x - x ' d x ' = - ∫ x ' x ' - x d x ' = - x ' - x ln ⁡ x ' - x

Obs.: Coloquei o sinal negativo na frente da integral pra que o denominador ficasse mais parecido com o que aparece no formulário.

Substituindo na expressão do potencial e aplicando os limites de integração, teremos:

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - x ' - x ln ⁡ x ' - x - a a

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a - x ln ⁡ a - x - a - x

Agora é só arrumar a bagunça:

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a - x ln ⁡ x - a x + a

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + x ln ⁡ x + a x - a

Passo 3

b Obtenha uma expressão assintótica para o resultado do item a no limite x ≫ a . Interprete o resultado.

Ok! Para tratar do caso a que o problema se refere, temos que começar olhando para a parte logarítmica da expressão do potencial, isso porque ela relaciona x e a .

ln ⁡ x + a x - a

De acordo com o enunciado, há uma aproximação que podemos fazer com um logaritmo muito semelhante a esse, se liga:

ln ⁡ 1 + x 1 - x ≅ 2 x + 2 3 x 3 + … ,     p a r a   x ≪ 1

Então a ideia aqui é a seguinte, vamos transformar o logaritmo que aparece na expressão do potencial nesse cara aqui em cima.

ln ⁡ x + a x - a = ln ⁡ x 1 + a x x 1 - a x = ln ⁡ 1 + a x 1 - a x

Opa! Sendo x ≫ a , podemos dizer que:

a x ≪ 1

Agora sim, podemos aplicar a aproximação que o formulário no deu:

ln ⁡ 1 + a x 1 - a x ≅ 2 a x + 2 a 3 3 x 3

Feito isso, agora podemos substituir na expressão do potencial:

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + x 2 a x + 2 a 3 3 x 3

Vamos arrumar essa bagaça:

V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + 2 a + 2 a 3 3 x 2

V = λ 0 4 π ϵ 0 a 2 a 3 3 x 2

Finalmente:

V = λ 0 a 2 6 π ϵ 0 x 2

Passo 4

Agora temos que interpretar esse resultado! Fisicamente se x ≫ a , quer dizer que se estamos muito afastados da barra enxergamos ela como um ponto!

Se você lembrar da densidade de carga

λ x ' = λ 0 x ' a

Vai ver que pra x > 0 , λ > 0 e que pra x < 0 , λ < 0 , ou seja, essa nossa barra é um dipolo elétrico! Como estamos vendo bem de longe, temos um dipolo elétrico pontual.

Lembra como era a expressão do campo produzido por um dipolo elétrico?

E = 1 4 π ϵ 0 p r 3

E o potencial então é dado por (lembrando que E → = - ∇ V )

V = - 1 2 π ϵ 0 p r 2

Que tem a mesma cara que a expressão que a gente achou! Ou seja, pra distâncias muito grandes a nossa barra se comporta como um dipolo pontual!

Resposta

a V = λ 0 4 π ϵ 0 a - 2 a + x ln ⁡ x + a x - a

b V = λ 0 a 2 6 π ϵ 0 x 2

Análise: Ver passo 4.

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