Considere um disco de plástico perfurado de raio menor a e raio maior b , uniformemente carregado com uma densidade de carga σ :

(a) Calcule o potencial elétrico gerado por esta distribuição em um ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano que contém o disco e passa por seu centro geométrico. Tome o potencial no infinito como zero!

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um disco de plástico carregado uniformemente com uma densidade de carga σ .

A questão nos pede para calcular o potencial elétrico gerado por esta distribuição no ponto P mostrado na figura.

Lembrando que o potencial elétrico V é calculado da seguinte forma:

V = ∫ k d   d Q

Onde k é a constante eletrostática, d Q é um elemento de carga infinitesimal sobre o disco e d é a distância entre o elemento de carga e o ponto P .

E aí? Bora responder?

Passo 2

Bom... considerando o elemento de carga sobre o disco, a sua distância até o ponto P é dada por:

d = r 2 + z 2

Onde r é a distância entre o centro do disco e o elemento de carga e z é a distância entre o centor e o ponto P .

Sendo assim, o potencial elétrico V p no ponto P é dado da seguinte forma:

V p = ∫ k r 2 + z 2   d Q

Passo 3

Sabe-se, no entanto, que o elemento de carga d Q pode ser tratado como o produto entre a densidade de carga σ e um elemento de área d A . Ou seja:

d Q = σ ∙ d A ∴  

Onde d A é dado por (ver figura abaixo):

d A = 2 π r d r

Assim, o elemento de carga é dado da seguinte forma:

d Q = σ ∙ 2 π r d r

Passo 4

Substituindo a integral e resolvendo para r variando de a até b , temos:

V p = ∫ a b k r 2 + z 2 σ 2 π r d r ∴

V p = 2 π k σ ∫ a b r r 2 + z 2 d r ∴

V p = 2 π k σ r 2 + z 2 b a ∴

V p = 2 π k σ b 2 + z 2 - a 2 + z 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V p = 2 π k σ b 2 + z 2 - a 2 + z 2

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