Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Unicamp, Física 3, 2019.2, P1, Questão 2.

Considere um disco de raio R com uma carga Q uniformemente distribuída.

a) Calcule o potencial num ponto P do eixo do disco, a uma distância x do centro.

b) Qual é a diferença de potencial entre o centro do disco e um ponto sobre seu eixo a uma distância x = 2 R do centro?

c) Utilizando a relação entre campo elétrico e o potencial, deduza uma expressão para o campo elétrico do disco no ponto P do item (a).

d) Qual é o trabalho necessário para trazer uma carga de prova q 0 desde o infinito até o centro do disco?

Dado: potencial de um anel com carga q , em um ponto P do eixo do anel, a uma distância x do centro:

V x = k q R 2 + x 2

Passo 1

a) Nessa questão o enunciado já deu uma dica muito boa: ele deu o potencial gerado no ponto P por um anel:

Mas presta atenção num detalhe: um disco é simplesmente um conjunto de anéis!

V d i s c o = ∑ V a n e i s

Outra forma de dizer isso é considerar que cada anel de raio r contribui com um potencial d V para o potencial do disco:

d V = k r 2 + x 2   d q

E como a gente pode expressar essa “carguinha” d q de cada anel? Bom, se o disco inteiro tem carga Q e área A , a densidade de carga é:

σ = Q A = Q π R 2

E então a carga d q de cada disco é:

d q = σ   d A

E como A = π r 2 , d A = 2 π r   d r :

d q = 2 π r σ   d r

Ou seja:

d V = 2 π σ k r 2 + x 2   r   d r

Beleza, já estamos quase lá.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, pra encontrar o potencial gerado pelo disco, é só integrar esse conjunto de anéis:

d V = 2 π σ k r 2 + x 2   r   d r

Com r variando de r = 0 até r = R :

V = ∫ 0 R 2 π σ k r 2 + x 2   r   d r

Tirando as constantes:

V = 2 π σ k ∫ 0 R r r 2 + x 2     d r

E usando essa fórmula aqui:

∫ x x 2 + b 2 = x 2 + b 2

Ou seja:

V = 2 π σ k ∫ 0 R r r 2 + x 2     d r = 2 π σ k R 2 + x 2 - 0 2 + x 2  

Como x 2 = x :

V x = 2 π σ k R 2 + x 2 - x

Substituindo σ :

V x = 2 π σ k R 2 + x 2 - x

V x = 2 π k Q π R 2 R 2 + x 2 - x

Então o potencial devido ao disco é:

V x = 2 k Q R 2 R 2 + x 2 - x

Passo 3

(b) Quando estamos no centro do disco, o potencial é V 0 :

V 0 = 2 k Q R 2 R 2 + 0 2 - 0

V 0 = 2 k Q R 2 R

V 0 = 2 k Q R

E quando estamos a uma distância 2 R do centro:

V 2 R = 2 k Q R 2 R 2 + 4 R 2 - 2 R

V 2 R = 2 k Q R 2 5 R - 2 R

Cortando o R :

V 2 R = 2 k Q R 5 - 2

Então a diferença de potencial entre os dois pontos é:

Δ V = V 0 - V 2 R

Δ V = 2 k Q R - 2 k Q R 5 - 2

Δ V = 2 k Q R 3 - 5

Passo 4

(c) Agora queremos descobrir o campo elétrico do disco no ponto P .

Não tem segredo, é só lembrar da relação do campo elétrico com o potencial:

E → = - ∇ V

O campo elétrico é o gradiente do potencial! Se a gente olhar só para o campo ao longo do eixo x , esse gradiente é:

E → = - ∇ V = - d V d x   x ^

Então:

E → = - d d x 2 k Q R 2 R 2 + x 2 - x x ^

Primeiro vamos tirar as constantes:

E → = - 2 k Q R 2   d d x R 2 + x 2 - x x ^

Agora podemos separar a derivada em duas:

E → = - 2 k Q R 2   d d x R 2 + x 2 - d d x x x ^

A primeira derivada, pela regra da cadeia, fica assim:

d d x R 2 + x 2 = 1 2 R 2 + x 2 2 x = x R 2 + x 2

E a segunda é bem mais simples, já que o ponto P está em x > 0 , ou seja, x = x :

d d x   x = d d x   x = 1

Então:

E → = - 2 k Q R 2   x R 2 + x 2 - 1 x ^

Já que o enunciado também chama de x a posição do ponto P , essa é a expressão que estávamos procurando!

Passo 5

(d) Agora vamos lembrar da relação entre o trabalho e a variação de potencial:

W = - q 0 Δ V

Se vamos até V 0 no centro do disco vindo de V ∞ no infinito:

W = - q 0 V 0 - V ∞

E já calculamos V 0 :

W = - q 0 2 k Q R - V ∞

E o potencial é zero no infinito, então:

W = - q 0 2 k Q R - 0 = - 2 k Q R q 0

Resposta

(a) O potencial em P é V x = 2 k Q R 2 R 2 + x 2 - x .

(b) A diferença de potencial é Δ V = 2 k Q R 3 - 5 .

(c) O campo elétrico em P é E → = - 2 k Q R 2   x R 2 + x 2 - 1 x ^ .

(d) O trabalho realizado para isso é W = - 2 k Q R q 0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas