Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Considere um fio retilíneo de comprimento L , com densidadade linear de carga λ , posicionado conforme mostra a figura.

(a) Calcule o potencial elétrico em um ponto P sobre a parte positiva do eixo X de coordenadas ( x ,   0 ,   0 ) , com x > L . Assuma o potencial nulo no infinito.

(b) Calcule a componente E x do campo elétrico no ponto P .

(b) Qual é o trabalho de uma força externa para trazer uma carga de prova Q do infinito até o ponto P ?

Passo 1

Para achar o potencial elétrico gerado pela barra temos que olhar para um elemento infinitésimo de carga d q que a constitui.

Supondo que este elemento esteja em uma posição x ' ( 0 < x ' < L ) o potencial gerado por esse elemento de carga será

d V = 1 4 π ϵ 0 d q x - x '  

Como a densidade linear de carga é λ , temos que

λ = d q d x ' → d q = λ d x '

Assim

d V = λ 4 π ϵ 0 d x ' x - x '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que levar em conta todas as contribuições dos infinitésimos de carga d q

V x = λ 4 π ϵ 0 ∫ 0 L d x x - x '

V x = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x - L x

Passo 3

Temos que a componente x do campo elétrico é dada por

E x = - ∂ V x ∂ x = λ 4 π ϵ 0 ∂ ∂ x ln ⁡ x - L - ln ⁡ x

E x = λ 4 π ϵ 0 1 x - L - 1 x

E x = λ 4 π ϵ 0 L x x - L

Passo 4

Temos que o trabalho da força elétrica ao trazermos uma carga Q do infinito até o ponto P se relaciona com a variação de energia potencial por

W ∞ → P e l e = - Δ U = - U P - U ∞

Já a energia interna se relaciona com o potencial elétrico por

U = Q V

Como V ∞ = 0 , temos que

W ∞ → P e l e = - Q V P

Mas o enunciado pede o trabalho de uma força externa! Nesse caso o trabalho da força externa será menos o trabalho da força elétrica.

Nesse caso

W ∞ → P e x t = Q V P

W ∞ → P e x t = - Q λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x - L x

Resposta

  1. V x = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x - L x
  2. E x = λ 4 π ϵ 0 L x x - L
  3. W ∞ → P e x t = - Q λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x - L x

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