Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

PUCRIO – Física 3 2020.1 – G1– Questão 5

Uma coroa circular isolante, plana, com raio interno a e raio externo b ,possui uma quantidade total de carga Q . Esta carga é distribuída de maneira não uniforme sobre a coroa circular, de tal forma que a densidade superficial é dada por: σ r = α / r 3 , onde α é uma constante positiva e r é a distância do centro da coroa circular até qualquer ponto sobre ela, como mostrado na figura. Considere que o potencial é nulo no infinito ( V = 0 no infinito).

  1. Calcule a carga total Q na coroa circular em função de α e dos raios a e b .
  2. Calcule o potencial V no centro da coroa circular, deixando a sua expressão em função de Q e dos outros dados do problema.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos começar calculando o diferencial de carga:

d q = σ d A

O diferencial de área para essa figura é d A = 2 π r   d r , agora é só substituir o diferencial de área e a expressão para a densidade superficial de carga e integrar de a até b :

d q = α r 3 ( 2 π r d r )

Q = ∫ a b d q = ∫ a b 2 α π d r r 2

Q = 2 π α - 1 r a b = 2 π α 1 a - 1 b

Q = 2 π α b - a a b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra (b):

O diferencial de potencial é dado por:

d V = k d q r

Mas d q = 2 π α r 2 d r , assim para achar o potencial integramos de a até b :

V = ∫ a b k r 2 π α r 2 d r = 2 π k α ∫ a b d r r 3 = 2 π k α - 1 2 r 2 a b  

V = π k α 1 a 2 - 1 b 2 = π k α b 2 - a 2 a 2 b 2

No entanto, do passo anterior temos que a carga é Q = 2 π α b - a a b , ou seja, podemos substituir o valor de α daqui em termos da carga total e dos raios a e b :

α = Q a b 2 π ( b - a )

Assim podemos substituir no potencial:

V = π k α b 2 - a 2 a 2 b 2

V = π k b 2 - a 2 a 2 b 2 . Q a b 2 π b - a    

Podemos abrir o termo ( b 2 - a 2 ) no produto a + b ( a - b ) e fazer algumas simplificações:

V = k Q 2 a b b - a b + a b - a

V = k Q ( b + a ) 2 a b

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) Q = 2 π α b - a a b

b )   V = k Q ( b + a ) 2 a b

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