Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Densidade de Carga, Energia Potencial e Densidade de Energia, Potencial Elétrico

Um disco de raio oco, de raio interno a e raio externo b conforme mostrado na figura abaixo, possui uma distribuição superficial de carga expressa por σ = σ 0 b / r , onde σ 0 σ 0 > 0 é uma constante com unidade de carga por unidade de área.

Dado:

∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2

Determine:

a ) A carga total no disco, em função de a ,   b e σ 0 ;

b ) O potencial elétrico sobre o eixo do disco a uma distância z de seu centro;

c ) A energia potencial elétrica necessária para colocar uma carga q 0 , num ponto P de coordenada z 0 ao longo do eixo do disco a uma distância z , trazida do infinito;

Passo 1

a ) A carga total no disco, em função de a ,   b e σ 0 ;

Por definição, a densidade superficial de carga pode ser escrita por:

σ = d q d A → d q = σ d A

Onde d A corresponde a área de um pedaço infinitesimal do disco, de carga d q .

Como a área de uma seção circular é dada por A = π r 2 , o elemento d A será dado por:

d A = 2 π r   d r

Além disso, o problema nos disse que a densidade superficial de carga é dada por:

σ = σ 0 b r  

Substituindo d A e σ na expressão de d q , teremos:

d q = σ 0 b 2 π r r   d r

d q = 2 π σ 0 b   d r

Finalmente, pra calcular a carga total, só temos que integrar esse cara de a até b :

Q = 2 π σ 0 b ∫ a b d r

Q = 2 π σ 0 b b - a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) O potencial elétrico sobre o eixo do disco a uma distância z de seu centro;

A ideia aqui é começar calculando o potencial elétrico d V gerado por uma carga infinitesimal d q . Esse potencial é dado por:

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r '

Obs.: Chamei a distância de r ' só pra diferenciar do r que usamos no item ( a ) , beleza?

Graficamente, a ideia é essa:

Daqui já conseguimos tirar algumas coisas:

r ' = r 2 + z 2

d q = 2 π σ 0 b   d r

Substituindo esses caras na expressão de d V , teremos:

d V = 2 π σ 0 b 4 π ϵ 0 d r r 2 + z 2

Simplificando:

d V = σ 0 b 2 ϵ 0 d r r 2 + z 2

Passo 3

Pra finalizar, só temos que integrar esse cara de a até b :

V = σ 0 b 2 ϵ 0 ∫ a b d r r 2 + z 2

Opa! Não precisa quebrar a cabeça calculando essa integral! O próprio enunciado já deu a resposta dela... só temos que adaptar.

V = σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ r + r 2 + z 2 a b

V = σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ b + b 2 + z 2 - ln ⁡ a + a 2 + z 2

V = σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ b + b 2 + z 2 a + a 2 + z 2

Passo 4

c ) A energia potencial elétrica necessária para colocar uma carga q 0 , num ponto P de coordenada z 0 ao longo do eixo do disco a uma distância z , trazida do infinito;

Por definição, o potencial elétrico está associado com a energia potencial elétrica por:

Δ U = q 0 Δ V

Δ U = q 0 V z 0 - V ∞

O potencial no infinito é nulo!

Portanto:

Δ U = q 0 V z 0

Δ U = q 0 σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ b + b 2 + z 0 2 a + a 2 + z 0 2

Resposta

a )

Q = 2 π σ 0 b b - a

b )

V = σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ b + b 2 + z 2 a + a 2 + z 2

c )

Δ U = q 0 σ 0 b 2 ϵ 0 ln ⁡ b + b 2 + z 0 2 a + a 2 + z 0 2

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