Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma esfera condutora de raio R possui uma carga total + Q . Seja r a distância radial medida desde o centro da esfera.

a) Calcule o módulo do vetor campo elétrico nas regiões r < R e r > R .

b) Calcule o potencial elétrico nas regiões r < R e r > R .

Passo 1

a) Essa questão se trata de uma esfera carregada, sendo que queremos saber qual o seu campo elétrico em duas regiões diferentes: r < R e r > R .

Primeiro, vamos pegar uma superfície gaussiana esférica de raio r e calcular o fluxo elétrico através dela utilizando

ϕ = E → . n ^ A

Sendo que n ^ é o vetor perpendicular à superfície e A é a área da superfície esférica que vale 4 π r ² .

E então vamos relacionar esse fluxo à Lei de Gauss para cada uma das regiões

ϕ = Q i n t ε 0

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Passo 2

O fluxo elétrico vai ser

ϕ = E → . 4 π r ²

Então bora colocar isso na Lei de Gauss ;)

i) Para r < R

Quando r < R , a superfície gaussiana está dentro da esfera condutora. Mas vamos lembrar uma coisa: em qualquer material condutor carregado, o campo elétrico no seu interior vai ser SEMPRE 0. Então

E → = 0

i) Para r > R

Nesse caso, a nossa gaussiana está fora da esfera condutora, então a carga dentro da superfície vai ser a carga da esfera, ou seja

Q i n t = Q

Sendo assim

E → . 4 π r 2 = Q ε 0

E → = Q ε 0 4 π r 2

Passo 3

b) O potencial elétrico é dado por

V = k q r

Agora precisamos calcular esse potencial para r < R e para r > R

i) r < R

Nesse caso, como o campo elétrico é nulo, o potencial elétrico deve ser constante e contínuo. Logo, o potencial será o mesmo da superfície da esfera:

V = k q R

ii) r > R

No exterior da esfera, o campo é o mesmo que seria gerado com uma carga pontual que estivesse fora da esfera:

V = k q r

Logo, no interior da esfera o potencial é constante, e fora dela ele decresce conforme r cresce.

Resposta

  1. E → = 0 ,   r < R Q ε 0 4 π r 2 ,   r > R
  2. V = k q R ,   r < R k q r ,   r > R

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