Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Uma esfera maciça condutora, de raio R e carga q , é concêntrica com uma camada esférica condutora carregada com uma carga Q que tem raio interno 2 R e raio externo 3 R .

a Determine o campo elétrico para as regiões 0 ≤ r ≤ R , R ≤ r ≤ 2 R , 2 R ≤ r ≤ 3 R e r > 3 R .

b Encontre o potencial elétrico para essas regiões do espaço;

c Qual deve ser a razão entre a carga da esfera e a carga da camada condutora para a qual o potencial eletrostático do sistema no centro comum da esfera e da camada seja igual ao potencial do sistema no infinito?

Passo 1

a) Determine o campo elétrico para as regiões 0 ≤ r ≤ R , R ≤ r ≤ 2 R , 2 R ≤ r ≤ 3 R e r > 3 R .

Para calcular o campo elétrico, vamos utilizar a simetria esférica do problema aplicada à Lei de Gauss, o que nos dará:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Assim, para cada situação, basta determinar a carga no interior da gaussiana.

- 0 ≤ r ≤ R ;

Essa região corresponde ao interior da esfera condutora. Aqui vai um detalhe importante que você precisa levar no coração: O campo elétrico no interior de um material condutor é sempre igual a zero.

E → = 0 →

- R ≤ r ≤ 2 R ;

Essa região corresponde ao espaço entre a esfera e a superfície interna da casca esférica, logo, a gaussiana irá englobar somente a esfera de raio R e carga q .

Q i n t = q

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

- 2 R ≤ r ≤ 3 R ;

Novamente, essa região corresponde ao interior de um condutor, neste caso, a casca esférica. Como já sabemos que no interior de um condutor o campo elétrico é nulo:

E → = 0 →

- r > 3 R ;

A gaussiana agora engloba tanto a esfera (de carga q ), quanto a casca esférica (de carga Q ). Sendo assim:

Q i n t = q + Q

E → = q + Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Encontre o potencial elétrico para essas regiões do espaço;

O potencial elétrico será dado por:

Δ V = - ∫ E → ∙ d r →

Como a equação acima calcula a diferença de potencial, precisamos partir de um ponto de referência no qual já saibamos quanto vale o potencial. Esse ponto é r → ∞ , onde o potencial é nulo.

Assim, vamos começar da região mais externa e vamos para região mais interna:

- r > 3 R ;

V ∞ - V r = - ∫ r ∞ q + Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

0 - V r = - q + Q 4 π ϵ 0 ∫ r ∞ d r r 2

- V r = q + Q 4 π ϵ 0 1 r r ∞

- V r = q + Q 4 π ϵ 0 0 - 1 r = - q + Q 4 π ϵ 0 r

V r = q + Q 4 π ϵ 0 r

- 2 R ≤ r ≤ 3 R ;

Agora, o nosso ponto de referência será r = 3 R , onde o potencial vale:

V 3 R = q + Q 4 π ϵ 0 3 R = q + Q 12 π ϵ 0 R

Logo, lembrando que nessa região o campo elétrico é nulo:

V 3 R - V r = ∫ r 3 R 0   d r

V 3 R - V r = 0

V r = V 3 R

V r = q + Q 12 π ϵ 0 R

- R ≤ r ≤ 2 R ;

Nessa região, o campo elétrico é dado por:

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

E vamos usar como referência o ponto r = 2 R , já que:

V 2 R = V 3 R = q + Q 12 π ϵ 0 R

Assim:

V 2 R - V r = - ∫ r 2 R q 4 π ϵ 0 r 2 d r

q + Q 12 π ϵ 0 R - V r = - q 4 π ϵ 0 ∫ r 2 R d r r 2

q + Q 12 π ϵ 0 R - V r = q 4 π ϵ 0 1 r r 2 R

q + Q 12 π ϵ 0 R - V r = q 4 π ϵ 0 1 2 R - 1 r

V r = q + Q 12 π ϵ 0 R - q 4 π ϵ 0 1 2 R - 1 r

V r = q + Q 12 π ϵ 0 R - q 8 π ϵ 0 R + q 4 π ϵ 0 r

- 0 ≤ r ≤ R ;

Nessa região, novamente o campo elétrico é nulo. Assim, vamos usar como referência o ponto r = R , onde:

V R = q + Q 12 π ϵ 0 R - q 8 π ϵ 0 R + q 4 π ϵ 0 R

V R = q + Q 12 π ϵ 0 R + q 8 π ϵ 0 R

Dessa forma:

V R - V r = 0

V r = V R

V r = q + Q 12 π ϵ 0 R + q 8 π ϵ 0 R

Passo 3

c) Qual deve ser a razão entre a carga da esfera e a carga da camada condutora para a qual o potencial eletrostático do sistema no centro comum da esfera e da camada seja igual ao potencial do sistema no infinito?

O centro comum entre a esfera e a camada é exatamente na origem que equivale a região r = 0 . Do passo anterior vimos que o potencial é dado por

V 0 = q + Q 12 π ϵ 0 R + q 8 π ϵ 0 R

Agora temos que igualar esse potencial ao potencial no infinito!

Bom, o potencial do sistema no infinito é igual a zero, dessa forma, queremos calcular a razão q / Q para que o potencial em r = 0 seja nulo.

q + Q 12 π ϵ 0 R + q 8 π ϵ 0 R = 0

q + Q 12 π ϵ 0 R = - q 8 π ϵ 0 R

q + Q 12 = - q 8

q + Q 3 = - q 2

q 3 + Q 3 = - q 2

Q 3 = - q 2 - q 3 = - 5 q 6

Finalmente:

q Q = - 6 3 × 5 = - 2 5

Resposta

a

  • 0 ≤ r ≤ R ;
  • E → = 0 →

  • R ≤ r ≤ 2 R ;
  • E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

  • 2 R ≤ r ≤ 3 R ;
  • E → = 0 →

  • r > 3 R ;
  • E → = q + Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

    b

  • r > 3 R ;
  • V r = q + Q 4 π ϵ 0 r

  • 2 R ≤ r ≤ 3 R ;
  • V r = q + Q 12 π ϵ 0 R

  • R ≤ r ≤ 2 R ;
  • V r = q + Q 12 π ϵ 0 R - q 8 π ϵ 0 R + q 4 π ϵ 0 r

  • 0 ≤ r ≤ R ;

V r = q + Q 12 π ϵ 0 R + q 8 π ϵ 0 R

c

q Q = - 2 5

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