Uma esfera metálica carregada com uma carga - Q se situa dentro de uma casca esférica condutora com carga + Q . A esfera interna possui raio r a e a casca externa possui raio r b , com r a < r b . O espaço entre as esferas é o vácuo.

a) Calcule o potencial elétrico em todos os pontos.

b) Desenhe o gráfico do potencial, destacando valores em relação a cada um dos corpos.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma esfera metálica carregada dentro de uma esfera condutora e pediu pra gente calcular o potencial elétrico em todos os pontos. Mas que pontos são esses?

Vamos desenhar as duas esferas pra enxergar melhor:

Como a nossa esfera interna tem raio r a e a esfera externa tem raio r b , vamos definir três regiões, pra englobar todos os pontos e calcular o potencial elétrico: dentro da esfera mais interna, onde o raio r é r < r a , entre as duas esferas ( r a < r < r b ) e fora da esfera externa ( r > r b ).

Lembra da expressão pra calcular o potencial? É essa daqui:

V = k Q r

Com essas informações a gente consegue calcular o potencial em todos os pontos e, em seguida, desenhar o gráfico do potencial.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar calculando o potencial dentro das duas esferas, onde r < r a . Assim, temos:

V = k - Q r a + k + Q r b

Colocando k Q em evidência:

V = k Q 1 r b - 1 r a

Agora para r a < r < r b , onde estamos fora da esfera interna e dentro da esfera externa. Temos:

V = k - Q r + k + Q r b

V = k Q 1 r b - 1 r

E finalmente, para r > r b , quando estamos fora das duas esferas:

V = k - Q r + k + Q r

V = k r - Q + Q

→ V = 0

Passo 3

Prontinho, agora podemos desenhar o gráfico do potencial em relação a cada um dos corpos.

Por meio das equações que encontramos, podemos dizer que o potencial elétrico é inversamente proporcional à distância entre um ponto e a carga fonte  Q . Dessa forma, o gráfico do potencial é uma hipérbole equilátera no primeiro quadrante, se Q for positiva.

Pra nossa esfera então, temos:

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

V = k Q 1 r b - 1 r a

V = k Q 1 r b - 1 r

V = 0

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