Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Lei de Gauss, Campo em Condutores, Potencial Elétrico

Uma esfera não condutora de raio a carregada com uma carga + q , uniformemente distribuída por todo seu volume, é envolvida por uma camada esférica condutora, raios b e c , carregada com uma carga total - 2 q , conforme a figura.

  1. Use a lei de Gauss para determinar as expressões do vetor campo elétrico em todo espaço: r ≤ a , a < r < b , b < r < c e r > c ;
  2. Calcule a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera e um ponto da superfície interna da camada, isto é, V a - V b ;
  3. Quais são as cargas sobre as superfícies interna e externa da camada condutora?

Passo 1

  1. Use a lei de Gauss para determinar as expressões do vetor campo elétrico em todo espaço: r ≤ a , a < r < b , b < r < c e r > c ;
  2. A lei de Gauss é dada por:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Como a geometria do problema é esférica... em todos os casos aqui a nossa gaussiana vai ser uma esfera. Isso significa que podemos simplificar a Lei de Gauss para:

    E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

    E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

    É importante dizer também que o campo elétrico está na direção radial. Assim, só dependemos do sinal da carga interna Q i n t pra saber se o campo elétrico está apontando para dentro ou para fora.

    E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

    Isso significa que, para cada região, só vamos ter o trabalho de calcular Q i n t .

    Passo 2

    - r ≤ a

    Como a esfera é não condutora, significa que as cargas estão distribuídas ao longo do seu volume. Então, pra descobrir Q i n t , basta fazer uma regra de três:

    q Q i n t = 4 π a 3 3 4 π r 3 3

    q Q i n t = a 3 r 3

    Q i n t = q r 3 a 3

    Logo:

    E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r 3 a 3   r ^

    E → = q r 4 π ϵ 0 a 3 r ^

    - a < r < b

    Nessa região, a carga interna será a carga total da esfera não condutora, logo:

    Q i n t = q

    E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

    - b < r < c

    Beleza! Como a casca é condutora, tem uma coisa muito importante que você precisa levar contigo no coração... o campo elétrico no interior de um condutor será sempre igual a zero!

    Logo:

    E → = 0

    - r > c

    Nesse caso, a carga interna total será a soma da carga da esfera não condutora e da casca condutora.

    Q i n t = - 2 q + q = - q

    Logo:

    E → = - q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

    Passo 3

  3. Calcule a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera e um ponto da superfície interna da camada, isto é, V a - V b ;
  4. Na letra (a), nós vimos que o campo elétrico na região entre a esfera e a camada condutora é dado por:

    E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

    Podemos associar a diferença de potencial com o campo elétrico através da relação:

    Δ V = V a - V ( b ) = - ∫ b   a E → ∙ d r →

    Logo:

    Δ V = - q 4 π ϵ 0 ∫ b a d r r 2

    Δ V = q 4 π ϵ 0   1 r b a

    Δ V = q 4 π ϵ 0   1 a - 1 b

    Δ V = q 4 π ϵ 0 b - a a b

    Passo 4

  5. Quais são as cargas sobre as superfícies interna e externa da camada condutora?

- Camada interna:

Lembra que, quando calculamos o campo elétrico no interior do condutor, vimos que ele será sempre nulo?

E → = 0

Mas, de acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico é dado por:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Assim, a única forma do campo elétrico ser igual a zero é se a soma das cargas internas à nossa gaussiana quando b < r < c também for igual a zero.

A carga interna nessa região será a soma da carga da esfera Q e com a carga da camada interna da casca condutora Q c i :

Q e + Q c i = 0

q + Q c i = 0

Q c i = - q

- Camada externa:

O problema nos disse que a casca condutora possuía carga - 2 q , certo? Isso significa que, não importa a quantidade de carga na camada interna e na camada externa, desde que a soma das duas seja igual a - 2 q , entendeu?

Q c i + Q c e = - 2 q

- q + Q c e = - 2 q

Q c e = - q

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Resposta

a.

- r ≤ a

E → = q r 4 π ϵ 0 a 3 r ^

- a < r < b

Q i n t = q

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

- b < r < c

E → = 0

- r > c

E → = - q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

b.

Δ V = q 4 π ϵ 0 b - a a b

c.

Q c i = - q

Q c e = - q

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