Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Ufpe - Física 3 – P2 2018.2 - 1

A figura abaixo ilustra um capacitor cilíndrico de comprimento L , composto por duas cascas cilíndricas coaxiais. A casca interna tem raio a e carga + Q , e a casca externa tem raio b e carga – Q . Sabe-se que L ≫ a e que L ≫ b . Existe vácuo no espaço entre as placas ( a < r < b ), cuja constante de permissividade elétrica é dada por ε 0 .

  1. Calcule o módulo do campo elétrico na região entre as cascas ( a < r < b ) .
  2. Calcule a diferença de potencial elétrico ( V = V + - V - ) entre as cascas.
  3. Calcule a capacitância de tal capacitor cilíndrico.
  4. Se o espaço entre as placas é completamente preenchido por um material dielétrico de constante dielétrica κ , determine a nova capacitância deste sistema.

Passo 1

a) Para o módulo do campo elétrico na região a < r < b , vamos usar a lei de Gauss, que afirma o seguinte:

Φ E = ∮ G E → ⋅ d A → = Q i n t ε 0   ,

ou seja, o fluxo do campo elétrico   E → através da superfície gaussiana G (superfície fechada!) é igual a carga Q i n t total líquida que está dentro da superfície fechada G dividida por ε 0 .

Bom, para usarmos a lei de Gauss para o caso da nossa questão aqui, vamos usar uma superfície gaussiana fechada cilíndrica de raio r ( a < r < b ), como a gente colocou na figura abaixo, que foi desenhada de perfil.

Como o enunciado disse que L ≫ a e L ≫ b (portanto L ≫ r também!), então temos um cilindro “infinito”: o comprimento de ambos os cilindros é muito maior do que os respectivos diâmetros. Nesse caso, o campo elétrico produzido por eles tem propriedades particulares, que vem desse simetria cilíndrica.

Por essa característica, o campo elétrico é sempre radial, ou seja, sempre perpendicular ao eixo longitudinal dos cilindros e isso significa que não tem componente do campo perpendicular às tampas da nossa superfície gaussiana. Além disso,   E → só depende da distância r ao seu eixo.

Agora, como a carga do cilindro interno é positiva, o campo elétrico que ela gera pode ser escrito como   E → = E r   r ^ . O vetor infinitesimal de área é sempre escolhido apontando para fora da gaussiana: d A → = d A l a t e r a l   r ^ , sendo que d A l a t e r a l está relacionada ao elemento de área lateral do da gaussiana.

Como  E → e   d A → são paralelos e E ( r ) tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície lateral da gaussiana, o lado esquerda da lei de Gauss fica:

∮ G E → ⋅ d A → = ∮ G E r d A l a t e r a l = E r ∮ G d A l a t e r a l = E r 2 π r L = Q ε 0   ,

já que a carga que está dentro da superfície gaussiana é Q i n t = + Q . Isolando o campo, teremos:

E r = Q 2 π ε 0 L r     →     E → = Q 2 π ε 0 L r r ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Uma vez que temos o campo elétrico, podemos calcular a diferença de potencial através de

V a - V b ≡ V + - V - = ∫ a b E → ⋅ d l →   .

Nesse caso, podemos tomar o vetor infinitesimal de comprimento na direção radial:   d l → = d r   r ^ . Como   E → também está na direção radial, o produto escalar na expressão acima fica:   E → ⋅ d l → = E ( r ) d r . Colocando isso na integral, teremos

V + - V - = Q 2 π ε 0 L ∫ a b d r r     ⇒   V + - V - ≡ V = Q 2 π ε 0 L ln ⁡ b a   .

Passo 3

c) Agora, basta a gente aplicar a definição de capacitância, que é

C ≡ Q V   .

Aplicando isso na expressão que encontramos no item anterior, tiramos que a capacitância do capacitor cilíndrico será

C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a   .

Passo 4

d) Quando colocarmos um dielétrico preenchendo todo o volume entre os dois condutores do capacitor cilíndrico, sua nova capacitância C n o v a será maior por um fator κ > 1 , ou seja, terá um valor dado por:

C n o v a = κ C = 2 π κ ε 0 ln ⁡ b a > C   .

Resposta

  1. E → = Q 2 π ε 0 L r r ^   ;
  2. V + - V - ≡ V = Q 2 π ε 0 L ln ⁡ b a   ;
  3. C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a   ;
  4. C n o v a = κ C = 2 π κ ε 0 ln ⁡ b a > C   .

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