Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Unicamp, Física 3, 2019.2, P1, Questão 6.

Oito gotas de água idênticas estao todas ao mesmo potencial V , relativo ao potencial nulo no infinito. Elas se juntam para formar uma única gota esférica, cujo potencial deve ser:

a) 2 V

b) 4 V

c) V / 8

d) 8 V

e) V / 2

Passo 1

Bom pessoal, o primeiro passo aqui é entender como se calcula o potencial de uma gota d’água.

A ideia é a seguinte: a água é uma boa condutora de eletricidade, então a gente pode tratar a gota como uma esfera condutora carregada.

Você já deve ter visto que, pela lei de Gauss, o campo elétrico gerado por uma esfera condutora carregada segue essa fórmula aqui:

Bom, mas se o campo elétrico é nulo dentro da esfera, isso quer dizer que o potencial elétrico é constante dentro da esfera:

V = - ∫ E   d r

Beleza? Se o E é zero nessa equação, então o potencial é uma constante, porque a integral de zero é uma constante!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tá, o potencial é uma constante, mas qual é o valor dessa constante?

É só voltar na fórmula de antes:

V = - ∫ k Q r 2   d r

Integrando isso do infinito r = ∞ até a superfície da esfera r = R :

V = - ∫ ∞ R k Q r 2

A integral de - 1 / x 2 é 1 / x , então:

V = k Q r R ∞  

E já que o potencial é zero no infinito:

V = k Q R

Beleza, esse é o valor do potencial na superfície da esfera.

Como a gente viu lá em cima, o potencial é constante na esfera toda, então esse mesmo valor é a constante que estávamos procurando.

Passo 3

Então tá, a gente começa com uma única esfera (gota d’água) com potencial V :

V = k Q R

Cada uma tem carga Q e raio R . Se a gente juntar 8 gotas como essa, qual vai ser a carga total?

Q T = 8 Q

E qual vai ser o raio dessa nova gota? Aqui não dá pra simplesmente somar os raios.

O volume da nova gota é:

v t = 8 v

Vamos ver qual era o volume v de uma única gota usando a fórmula para o volume de uma esfera?

v = 4 3 π R 3

Então:

v t = 8 4 3 π R 3 = 32 3 π R 3

Agora a gente pode calcular o raio R T da esfera que tem volume v t :

v t = 4 3 π R T 3

32 3 π R 3 = 4 3 π R T 3

Cortando π / 3 dos dois lados:

32 R 3 = 4 R T 3

8 R 3 = R T 3

Tirando a raiz cúbica dos dois lados:

R T = 8 3 R = 2 R

Passo 4

Ou seja, a nova gota tem carga Q T = 8 Q e raio R T = 2 R . Então o potencial V T é:

V T = k 8 Q 2 R = 4 k Q R

Então, como V = k Q / R :

V T = 4   V

Então a resposta é a letra (b)!

Resposta

Letra (b).

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