Calcule:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - cos ⁡ x 2 2 x 2

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é substituir o valor de x no limite

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - cos ⁡ x 2 2 x 2 = cos ⁡ 0 2 - cos ⁡ 0 2 2 ∙ 0 2 = 0 2 - cos ⁡ 0 0 = 0 - 0 0 = 0 0

Isso dá uma indeterminação 0 0 e nesse tipo de indeterminação podemos usar L’Hospital

Passo 2

Vamos usar L’Hospital

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - cos ⁡ x 2 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - cos ⁡ x 2 ' 2 x 2 '

Para fazer essa derivada vamos usar a regra da cadeia nesses cossenos, vamos começar fazendo a derivada de cos ⁡ x 2 , vamos chamar essa função de f x

f x = cos ⁡ x 2

Repara que temos duas funções, g x = x 2 e h x = cos ⁡ x isso nos diz que

f x = g h x

Aplicando a regra da cadeia

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Vamos derivar as duas funções

g ' x = 2 x

h ' x = - sen ⁡ x

E a derivada de f x vai ficar

f ' x = 2 cos ⁡ x ∙ - sen ⁡ x

f ' x = - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos fazer a outra derivada agora cos ⁡ x 2 , vamos fazer dessa vez

f x = cos ⁡ x 2

Ainda usando as funções de antes vamos ter

f x = h g x

Aplicando a regra da cadeia

f ' x = h ' g x ∙ g ' x

Vamos derivar as duas funções

g ' x = 2 x

h ' x = - sen ⁡ x

E a derivada de f x vai ficar

f ' x = - sen ⁡ x 2 ∙ 2 x

f ' x = - 2 x sen ⁡ x 2

Passo 3

Voltando ao limite

⇒ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 ' - cos ⁡ x 2 ' 2 x 2 ' = lim x → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x - - 2 x sen ⁡ x 2 2 ∙ 2 x =

⇒ lim x → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x + 2 x sen ⁡ x 2 4 x

Podemos simplificar esse limite, sempre que aplicamos a regra de L’Hospital é bom dar uma arrumada na casa antes de olhar para esse limite de novo, isso vai ficar

lim x → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x + 2 x sen ⁡ x 2 4 x = - 2 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 + 2 ∙ 0 ∙ sen ⁡ 0 2 4 ∙ 0 = 0 + 0 0 = 0 0

Ainda está dando uma indeterminação, vamos aplicar L’Hospital de novo.

Passo 4

Primeiro vamos lembrar que 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x isso vai ajudar nas derivadas

lim x → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x + 2 x sen ⁡ x 2 4 x = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ x 2 4 x

Aplicando L’Hospital vamos ter

lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ x 2 ' 4 x ' = lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ 2 x ' + 2 x sen ⁡ x 2 ' 4

⇒ lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ x 2 ' 4

Vamos resolver separado a derivada da parte de cima 2 x sen ⁡ x 2 ' , primeiro vamos usar a regra do produto

2 x sen ⁡ x 2 ' = 2 x ' sen ⁡ x 2 + 2 x   sen ⁡ x 2 '

Aquela derivada de sem ⁡ x 2 nos vamos resolver como fizemos lá em cima no passo 2 para cos ⁡ x 2

Vamos voltar a derivada, ela vai ficar

2 x ' sen ⁡ x 2 + 2 x   sen ⁡ x 2 ' = 2 sen ⁡ x 2 + 2 x 2 x cos ⁡ x 2 = 2 sen ⁡ x 2 + 4 x 2 cos ⁡ x 2

Passo 5

Voltando para o limite

lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ 2 x + 2 x sen ⁡ x 2 ' 4 = lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ x 2 + 4 x 2 cos ⁡ x 2 4

⇒ lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ x 2 + 4 x 2 cos ⁡ x 2 4 = - 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 + 2 sen ⁡ 0 2 + 4 ∙ 0 2 cos ⁡ 0 2 4

⇒ - 2 cos ⁡ 0 + 2 sen ⁡ 0 + 0 4 = - 2 ∙ 1 4 = - 1 2

Resposta

- 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2