6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

p) f x = x 2 + 1 s e n x 5  

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = x 2 + 1 s e n x 5   .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = x 2 + 1 s e n x 5   e sua derivada, será

f ' x = d x 2 + 1 s e n x 5   d x

Aplicando a regra do expoente, temos

f ' x = d e s e n x 5 ln ⁡ x 2 + 1 d x

Assim, pela regra da cadeia, vamos obter

f ' x = d s e n x 5 ln ⁡ x 2 + 1 d x · d e u d u

Perceba que o termo s e n x 5 ln ⁡ x 2 + 1 se trata do produto de duas funções de x , portanto para derivar esse termo, podemos aplicar a regra do produto...

f ' x = d s e n x 5 d x · ln ⁡ x 2 + 1 + s e n x 5 · d ln ⁡ x 2 + 1 d x · d e u d u

E novamente, se olharmos para os termos s e n x 5 e ln ⁡ x 2 + 1 , vemos que temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f ' x = d x 5 d x · d s e n v d v · ln ⁡ x 2 + 1 + s e n x 5 · d x 2 + 1 d x · d ln ⁡ p d p · d e u d u

Bastante coisa, né? 👀

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, as derivadas que temos que calcular, são

d x 5 d x = 5 x 4

d s e n v d v = cos ⁡ v

d x 2 + 1 d x = 2 x

d ln ⁡ p d p = 1 p

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = d x 5 d x · d s e n v d v · ln ⁡ x 2 + 1 + s e n x 5 · d x 2 + 1 d x · d ln ⁡ p d p · d e u d u

f ' x = 5 x 4 · cos ⁡ v · ln ⁡ x 2 + 1 + s e n x 5 · 2 x · 1 p · e u

Substituindo u = s e n x 5 ln ⁡ x 2 + 1 , v = x 5 e p = x 2 + 1 ...

f ' x = 5 x 4 · cos ⁡ x 5 · ln ⁡ x 2 + 1 + s e n x 5 · 2 x · 1 x 2 + 1 · e s e n x 5 ln ⁡ x 2 + 1

f ' x = 5 x 4 cos ⁡ x 5 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x s e n x 5 x 2 + 1 x 2 + 1 s e n x 5

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 5 x 4 cos ⁡ x 5 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 x s e n x 5 x 2 + 1 x 2 + 1 s e n x 5

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