6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

n) f x = 3 + cos ⁡ x t g x 2  

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = 3 + cos ⁡ x t g x 2   .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = 3 + cos ⁡ x t g x 2   e sua derivada, será

f ' x = d 3 + cos ⁡ x t g x 2   d x

Aplicando a regra do expoente, temos

f ' x = d e t g x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x d x

Assim, pela regra da cadeia, vamos obter

f ' x = d t g x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x d x · d e u d u

Perceba que o termo t g x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x se trata do produto de duas funções de x , portanto para derivar esse termo, podemos aplicar a regra do produto...

f ' x = d t g x 2 d x · ln ⁡ 3 + cos ⁡ x + t g x 2 · d ln ⁡ 3 + cos ⁡ x d x · d e u d u

E novamente, se olharmos para os termos t g x 2 e ln ⁡ 3 + cos ⁡ x , vemos que temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f ' x = d x 2 d x · d t g v d v · ln ⁡ 3 + cos ⁡ x + t g x 2 · d 3 + cos ⁡ x d x · d ln ⁡ p d p · d e u d u

Bastante coisa, né? 👀

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, as derivadas que temos que calcular, são

d x 2 d x = 2 x

d t g v d v = s e c 2 v

d 3 + cos ⁡ x d x = - s e n x

d ln ⁡ p d p = 1 p

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = 2 x · s e c 2 v · ln ⁡ 3 + cos ⁡ x + t g x 2 · - s e n x · 1 p · e u

Voltando u para t g x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x , v para x 2 e p para 3 + cos ⁡ x , temos f ' x = 2 x s e c 2 x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x + t g x 2 - s e n x 1 3 + cos ⁡ x e t g x 2 ln ⁡ 3 + cos ⁡ x

f ' x = 2 x ln ⁡ 3 + cos ⁡ x s e c 2 x 2 - t g x 2 s e n x 3 + cos ⁡ x 3 + cos ⁡ x t g x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 2 x ln ⁡ 3 + cos ⁡ x s e c 2 x 2 - t g x 2 s e n x 3 + cos ⁡ x 3 + cos ⁡ x t g x 2

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