6.1. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

r) f x = 1 + a r c t g x 2 1 / x 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter a derivada da função f x = 1 + a r c t g x 2 1 / x 4   .

Como vamos fazer isso? 🤔

O que nos salta aos olhos nessa função, é que temos a variável x no expoente e pra isso, podemos aplicar a regra do expoente fazendo

a b = e b l n a

Perceba que esse termo se transformou em uma função composta, ou seja, podemos reescrever o termo e b l n a como e u onde u = b l n a .

Então, a melhor forma a se derivar essa função seria aplicar a regra da cadeia! Nesse método, podemos calcular a derivada de uma função composta como o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função é dada por f x = 1 + a r c t g x 2 1 / x 4   e sua derivada, será

f ' x = d 1 + a r c t g x 2 1 / x 4   d x

Aplicando a regra do expoente, temos

f ' x = d e 1 x 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 d x

Assim, pela regra da cadeia, vamos obter

f ' x = d 1 x 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 d x · d e u d u

Perceba que o termo 1 x 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 se trata do produto de duas funções de x , portanto para derivar esse termo, podemos aplicar a regra do produto...

f ' x = d 1 x 4 d x · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · d ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 d x · d e u d u

E novamente, se olharmos para o termo ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 , vemos que temos que aplicar a regra da cadeia novamente...

f ' x = d 1 x 4 d x · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · d 1 + a r c t g x 2 d x · d ln ⁡ v d x · d e u d u

f ' x = d 1 x 4 d x · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · d 1 d x + d a r c t g x 2 d x · d ln ⁡ v d x · d e u d u

E mais uma vez para o termo a r c t g x 2

f ' x = d 1 x 4 d x · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · d 1 d x + d x 2 d x · d a r c t g p d p · d ln ⁡ v d x · d e u d u

Bastante coisa, né? 👀

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, as derivadas que temos que calcular, são

d 1 x 4 d x = - 4 x 5

d 1 d x = 0

d x 2 d x = 2 x

d a r c t g p d p = 1 p 2 + 1

d ln ⁡ v d x = 1 v

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = d 1 x 4 d x · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · d 1 d x + d x 2 d x · d a r c t g p d p · d ln ⁡ v d x · d e u d u

f ' x = - 4 x 5 · ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 + 1 x 4 · 0 + 2 x · 1 p 2 + 1 · 1 v · e u

Substituindo u = 1 x 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 , v = 1 + a r c t g x 2 e p = x 2 ...

f ' x = - 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 x 5 + 1 x 4 2 x x 2 2 + 1 1 1 + a r c t g x 2 e 1 x 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2

f ' x = - 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 x 5 + 2 x x 4 + 1 1 x 4 1 + a r c t g x 2 1 + a r c t g x 2 1 x 4

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = - 4 ln ⁡ 1 + a r c t g x 2 x 5 + 2 x x 4 + 1 1 x 4 1 + a r c t g x 2 1 + a r c t g x 2 1 x 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Calcule g^' (x) g (x) = log_3 x
Calcule g^' (x) g (x) = log_pi x
Calcule f^' (x) .f (x) = pi^x
Calcule f^' (x) .f (x) = 2^x