Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, cilíndrico, circular, de raio R , e uma casca espessa, cilíndrica, também circular, coaxial, de raios a e b , tais que R < a < b . Ambos os cilindros são muito longos. Através do fio interno, passa uma corrente elétrica, estacionária, cuja densidade de corrente é J → int = J int z ^ J int = const > 0 , enquanto que, através da casca externa, passa uma corrente elétrica, também estacionária, com densidade de corrente J → ext = - J ext z ^ J ext = const > 0 .

  1. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica no fio interno?
  2. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
  3. Determine o campo magnético em cada uma das quatro regiões típicas em que o cabo “divide” o espaço.

Passo 1

Sejam I i e I e as correntes nos fios interno e externo respectivamente. A intensidade de corrente elétrica pode ser calculada pela fórmula:

I = ∬ S   J → ∙ d A →

Onde S é a seção reta do fio com uma certa orientação. Vamos estipular a orientação positiva, ou seja, o vetor área apontando no sentido de z ^ :

d A → = d A z ^

Fazendo o produto escalar para o fio interno:

J → int ∙ d A → = J int d A

Como é uma constante, sai fora da integral: I i = J int ∬ S   d A

Integrando d A na seção reta do fio temos sua área:

I i = J int π R 2

Passo 2

Em seguida fazemos o mesmo para a casca externa:

I e = ∬ S ' J → ext ∙ d A →

Onde S ' é a seção reta da casca cilíndrica externa. Temos que usar a mesma orientação da área de antes, senão nada faz sentido. O produto vetorial resulta:

J → ext ∙ d A → = - J ext d A

Plugando na integral temos:

I i = - J ext ∬ S '   d A

Integrando d A na casca cilíndrica externa obtemos sua área:

I i = - J ext π b 2 - a 2

Passo 3

Vamos agora fazer um argumento genérico para todas as regiões de campo magnético e depois vamos só substituindo a corrente. Por se tratar de fios cilíndricos muito longos, temos uma simetria circular no campo magnético do problema.

Enunciando a Lei de Ampère:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I int

Portanto escolhemos uma curva Amperiana circular de raio arbitrário r . De forma que:

B → | | d l →

Em toda C , o que implica:

B → ∙ d l → = B d l

Passo 4

Além disso temos que, pela configuração do campo, o módulo deste é constante em toda C , portanto:

∮ C B d l = B ∮ C d l

A integral de pedaços infinitesimais na Amperiana resulta no comprimento desta:

B = μ 0 I int L

Como se trata de uma circunferência de raio r , temos:

L = 2 π r

B = μ 0 I int 2 π r

Como arbitramos tudo no sentido positivo de z ^ , basta multiplicar por ϕ ^ para achar o sentido positivo do campo magnético. Quando a corrente for negativa ela já vai nos apontar o campo correto.

B → = μ 0 I int 2 π r ϕ ^

Agora a questão se resume a achar a corrente.

Passo 5

Na região r < R , temos que a corrente interna é:

I int = ∬ S J → ∙ d A →

Onde S nesse caso é o circulo de raio r < R . Logo:

I int = J int ∫ 0 r d A

I int = J int π r 2

Logo o campo é:

B → = μ 0 J int π r 2 2 π r ϕ ^

B → = μ 0 J int r 2 ϕ ^

Passo 6

Agora para a região r ∈ R , a temos que a única corrente é a do fio de raio R que nós já tínhamos calculado na letra a, portanto:

I int = J int π R 2

Substituindo na equação de campo:

B → = μ 0 J int π R 2 2 π r

B → = μ 0 J i n t R 2 2 r ϕ ^

Passo 7

Para a região r ∈ a , b temos que a corrente interna tem contribuição tanto do fio de raio R quanto da parte da casca que está dentro da Amperiana. Portanto:

I i n t = I 0 , R + I a . r

Lembrando que a região entre R e a não tem corrente.

A corrente entre a casca externa e a Amperiana pode ser obtida pela integral (sério, até dá pra fazer sem a integral nesse caso pois é constante, mas se acostume a fazer com a integral que a chance de erro é bem menor):

I a , r = ∬ S J → ∙ d A →

I a , r = - J e x t ∬ a r d A

I a , r = - J e x t π r 2 - a 2

Portanto a corrente interna é:

I i n t = J i n t π R 2 - J e x t π r 2 - a 2

O campo então fica:

B → = μ 0 ( J i n t R 2 - J e x t ( r 2 - a 2 ) ) 2 r ϕ ^

Passo 8

Por fim, a região r > b pega somente a soma das correntes totais que tínhamos encontrado nas letras a e b:

I i n t = J i n t π R 2 - J e x t π ( b 2 - a 2 )

B → = μ 0 ( J i n t R 2 - J e x t ( b 2 - a 2 ) ) 2 r ϕ ^

Resposta

a)

I i = J i n t π R 2

b)

I e = - J e x t π b 2 - a 2

c)

B → = μ 0 J i n t r 2 ϕ ^ ,       r < R μ 0 J i n t R 2 2 r ϕ ^ ,       R < r < a μ 0 ( J i n t R 2 - J e x t ( r 2 - a 2 ) ) 2 r ϕ ^ ,       a < r < b μ 0 ( J i n t R 2 - J e x t ( b 2 - a 2 ) ) 2 r ϕ ^ ,       r > b

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