Responde Aí

Em um modelo clássico para o átomo de hidrogênio, um elétron se desloca em movimento circular uniforme com velocidade escalar v e raio R em torno de um próton fixado na origem. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como uma corrente estacionária, qual é a intensidade do campo magnético produzido por ela na posição do próton?

  1. μ 0 e v 4 π 2 R 2
  2. μ 0 e v 2 π R 2
  3. μ 0 e v 2 π 2 R 2
  4. μ 0 e v 4 π R 2
  5. μ 0 e v 4 R 2
  6. μ 0 e v 2 R 2

Passo 1

Como o problema pede para que associemos ao movimento circular do elétron uma corrente estacionária, então essa corrente I produzirá um campo igual ao campo produzido por uma corrente numa espira circular. Então, o elétron seguiria a trajetória desenhada abaixo.

Nesse caso, então, o campo no centro onde está o próton pode ser escrito usando lei de Ampère. A nossa amperiana será essa circunferência desenhada em vermelho centrada no elétron

Assim, pela lei de Ampère

2 π R B = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π R

O que precisamos fazer agora é ver qual como escrever a corrente I para esse elétron!! Vamo lá...segue aí..

Passo 2

A corrente nada mais é do que quantidade de carga por unidade de tempo, correto? Bom, mas nesse caso, a carga é a carga do elétron – e e temos que considerar a corrente associada a essa carga após ela percorrer o comprimento do círculo. Então, a gente pode escrever o seguinte

I = - e T

sendo que T é o período que o elétron gasta para percorrer o comprimento 2 π R da espira.

Então, olha só, como o movimento é circular, a velocidade da carga é a razão entre o deslocamento dela dividido pelo tempo que ela gasta para percorrer a espira toda uma vez. Isto é,

v = 2 π R T ⇒ T = 2 π R v

Como isso, a corrente associada ao movimento desse elétron é

I = - e v 2 π R

Então, a nossa “espira” tem essa corrente I e ela produz um campo magnético no centro desse círculo.

Passo 3

Beleza! Agora que temos a corrente associada ao elétron temos que calcular o campo produzido por essa corrente na posição do próton. Para isso, temos que usar Biot-Savart, já que não temos uma simetria cilíndrica ou coisa do tipo.

O campo produzido será

B → = μ 0 4 π ∫ c o r r e n t e I → × r ^ r 2 d l

Como a corrente é circular em torno do próton, então r = R que é constante e sai da integral.

Outra coisa também é que r ^ está sempre na direção radial e I → está tangente ao círculo então o produto vetorial entre esses dois é perpendicular ao círculo. Nós não estamos preocupados com a direção, então vamos nos atentar ao módulo de B . Como I é constante ele também sai da integral assim

B = μ 0 I 4 π R 2 ∫ c o r r e n t e d l

Essa integral de d l nada mais é que o comprimento do círculo, ou seja, 2 π R .

B = μ 0 I 4 π R 2 2 π R

Substituindo o valor de I

B = μ 0 e v 2 π R 4 π R 2 2 π R

B = μ 0 e v 4 π R 2

Resposta

Portanto, a letra d) é a resposta correta.

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