Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, cilíndrico, circular, de raio R , envolto por uma casca espessa, cilíndrica, também circular, coaxial, de raios a e b , tais que R < a < b . Ambos os cilindros são muito longos e tem o eixo comum L . Através do fio interno, passa uma corrente elétrica estacionária, cuja densidade de corrente é dada por J → i n t = C r z ^ , onde C = c o n s t > 0 e r é a distância até o eixo do fio. Através da casca externa, passa uma corrente estacionária, cuja densidade de corrente é dada por J → e x t = - J 0 z ^ , onde J 0 = const > 0 .

  1. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica no fio interno?
  2. Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
  3. Determine o campo magnético B → em cada uma das quatro regiões em que o cabo “divide” o espaço.

Passo 1

A intensidade de corrente elétrica pode ser obtida pela integral do fluxo de densidade de corrente:

I = ∬ S J → ∙ d A →

Vamos orientar o vetor área no sentido de z ^ :

I int = ∬ S C r d A

Fazendo em coordenadas polares:

I int = 2 π C ∫ 0 R r r d r

I int = 2 π C R 3 3

Passo 2

Mesma coisa para a casca:

I ext = ∬ S - J 0 z ^ ∙ d A z ^

I ext = - J 0 ∬ S   d A

Que é a área da coroa circular de raios a e b :

I ext = - J 0 π b 2 - a 2

Passo 3

Vamos fazer um argumento genérico para o espaço todo e depois ir achando as correntes. Enunciando a Lei de Ampère:

∮ C B → ∙ d l → = μ 0 I int

Pela configuração do campo magnético (i.e. do fio retilíneo longo), é ideal escolher uma curva Amperiana circular de raio arbitrário r . De forma que:

B → | | d l →

Em toda C , o que implica:

B → ∙ d l → = B d l

Passo 4

Além disso temos que, pela configuração do campo, o módulo deste é constante em toda C , portanto:

∮ C B d l = B ∮ C d l

A integral de pedaços infinitesimais na Amperiana resulta no comprimento desta:

B = μ 0 I int L

Como se trata de uma circunferência de raio r , temos:

L = 2 π r

B = μ 0 I int 2 π r

Além disso, pela configuração do campo multiplicamos por ϕ ^ para obter o vetor campo:

B → = μ 0 I int 2 π r ϕ ^

Passo 5

Agora vamos calculando as correntes de cada região. Para r < R :

I r < R = ∬ r < R J → int ∙ d A →

I r < R = 2 π C ∫ 0 r r ⋅ r d r

I r < R = 2 π C r 3 3

Substituindo:

B → = μ 0 2 π r 2 π C r 3 3 ϕ ^

B → = μ 0 C r 2 3 ϕ ^

Passo 6

Para r ∈ R , a temos que a corrente é igual à corrente total do fio interno:

I int = 2 π C R 3 3

Substituindo: B → = μ 0 2 π r 2 π C R 3 3 ϕ ^

B → = μ 0 C R 3 3 r ϕ ^

Passo 7

Na região r ∈ a , b temos que a corrente interna é tanto do fio quanto da parte da casca que está dentro da Amperiana. Portanto:

I int = I r < R + I r ∈ a , b

A primeira nós já sabemos, logo:

I int = 2 π C R 3 3 + I r ∈ a , b

Agora vamos descobrir a corrente da casca:

I r ∈ a , b = ∬ a < r < b J → ext ∙ d A →

I r ∈ a , b = - J 0 ∬ a < r < b d A

A área da parte da casca dentro da Amperiana de raio r é a coroa circular de raios a e r :

I r ∈ a , b = - J 0 π r 2 - a 2

Logo:

I int = 2 π C R 3 3 - J 0 π r 2 - a 2

Substituindo:

B → = μ 0 2 π r 2 π C R 3 3 - J 0 π r 2 - a 2 ϕ ^

Passo 8

Por fim, para a região r > b a corrente interna é a soma das correntes:

I int = 2 π C R 3 3 - J 0 π b 2 - a 2

Portanto o campo fica:

B → = μ 0 2 π r 2 π C R 3 3 - J 0 π b 2 - a 2 ϕ ^

Resposta

a)

I int = 2 π C R 3 3

b)

I ext = - J 0 π b 2 - a 2

c)

B → = μ 0 C r 2 3 ϕ ^ ,       r < R μ 0 C R 3 3 r ϕ ^ ,       R ≤ r < a μ 0 2 π r 2 π C R 3 3 - J 0 π r 2 - a 2 ϕ ^ ,       a ≤ r < b μ 0 2 π r 2 π C R 3 3 - J 0 π b 2 - a 2 ϕ ^ ,       r ≥ b

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