Um fio extremamente longo é dobrado na forma mostrada na figura, de forma a evitar o contato no ponto de cruzamento O . O raio da parte circular é R e a corrente I tem o sentido indicado.

a ) Determine a contribuição da parte linear do fio para o vetor campo magnético no centro C e no ponto A do círculo.

b ) Determine a contribuição da parte circular do fio para o vetor campo magnético no centro C do círculo e o vetor campo magnético total no mesmo ponto.

Em seguida, a parte circular do fio é girada de 90 ° , sem distorção, em torno do eixo z , tornando-se perpendicular à parte linear, de tal forma que a nova posição do ponto A tem coordenada x positiva.

c ) Determine uma expressão para o vetor campo magnético total no centro C do círculo.

Passo 1

a ) Determine a contribuição da parte linear do fio para o vetor campo magnético no centro C e no ponto A do círculo.

Ambos os ponto C e A estão à mesma distância R do fio retilíneo, isso significa que os campo magnéticos nos dois pontos, gerado pelo fio retilíneo serão iguais.

O campo é calculado a partir da lei de Ampère, dada por:

∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

Devido à geometria do problema, a amperiana será uma circunferência de raio R que engloba o fio retilíneo de corrente I , logo:

2 π R B = μ 0 I

B = μ 0 I 2 π R

De acordo com a regra da mão direita, nos pontos C e A , o campo magnético estará no sentido do vetor + x ^ , logo:

B → A l i n = B → C l i n = μ 0 I 2 π R x ^

Passo 2

b ) Determine a contribuição da parte circular do fio para o vetor campo magnético no centro C do círculo e o vetor campo magnético total no mesmo ponto.

O campo magnético gerado pela parte circular no ponto C será calculado pela lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde d l → é o vetor cujo módulo corresponde a um pedaço infinitesimal do fio e está sempre na mesma direção e sentido da corrente e r ^ é o vetor unitário que sai de um ponto no condutor e aponta para o ponto onde estamos calculando o campo magnético.

Vamos analisar esse cara graficamente:

Daqui podemos concluir que:

d l → × r ^ = d l   x ^ = R d θ   x ^

r = R

0 < θ < 2 π

Logo:

B → = μ 0 I R 4 π R 2 ∫ 0 2 π d θ x ^

B → = 2 π μ 0 I 4 π R x ^

B → C c i r = μ 0 I 2 R x ^

Passo 3

O campo magnético resultando no ponto C será:

B → C = B → C l i n + B → C c i r

B → C = μ 0 I 2 π R x ^ + μ 0 I 2 R x ^

B → C = μ 0 I 2 R 1 π + 1 x ^

Passo 4

c ) Determine uma expressão para o vetor campo magnético total no centro C do círculo.

Ao girarmos a parte circular, de tal forma que a nova posição do ponto A passe a ter coordenada x positiva, nós também “giramos” o campo magnético gerado pelo anel no ponto C .

Assim, tendo em mente a nova posição da parte circular, o campo magnético por ela agora será:

B → C c i r = - μ 0 I 2 R y ^

Como não há mudança no parte linear, o campo magnético gerado por ela permanece a mesma.

Assim, o campo magnético total no ponto C será:

B → C = B → C l i n + B → C c i r

B → C = μ 0 I 2 π R x ^ - μ 0 I 2 R y ^

B → C = μ 0 I 2 R 1 π x ^ - y ^

Resposta

a )

B → = μ 0 I 2 π R x ^

b )

B → C = μ 0 I 2 R 1 π + 1 x ^

c )

B → C = μ 0 I 2 R 1 π x ^ - y ^

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